Номер 23, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4 : 5. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб, диагонали которого пересекаются и образуют со стороной ромба треугольник.

Ключевые свойства ромба, которые мы используем для решения:
1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).
2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (делят углы пополам).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя полудиагоналями и одной стороной ромба. Этот треугольник является прямоугольным, так как один из его углов — это угол между диагоналями, который равен $90^\circ$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Так как один угол в нашем треугольнике равен $90^\circ$, то сумма двух других острых углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Эти два острых угла и есть углы, которые диагонали образуют со стороной ромба.

По условию, эти углы относятся как 4:5. Обозначим их как $4x$ и $5x$.

Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна $90^\circ$:$4x + 5x = 90^\circ$

$9x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{9} = 10^\circ$

Теперь найдем величины этих острых углов:
Первый угол: $4x = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$.
Второй угол: $5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то углы ромба будут в два раза больше найденных углов.
Один угол ромба равен $2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.
Смежный с ним угол ромба равен $2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.

В ромбе противолежащие углы равны, поэтому у него два угла по $80^\circ$ и два угла по $100^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $80^\circ$ и $100^\circ$.