Номер 25, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано:ABCD — произвольный четырехугольник. Точки K, L, M и N — середины его сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Доказать:Четырехугольник KLMN является параллелограммом.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC. Она разделяет четырехугольник ABCD на два треугольника: ▵ABC и ▵ADC.

2. Рассмотрим треугольник ▵ABC. По условию, точка K — середина стороны AB, а точка L — середина стороны BC. Следовательно, отрезок KL является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, получаем:
$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник ▵ADC. По условию, точка N — середина стороны DA, а точка M — середина стороны CD. Следовательно, отрезок NM является средней линией этого треугольника. По тому же свойству, получаем:
$NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2} AC$.

4. Сравнивая полученные результаты для отрезков KL и NM, мы видим, что оба они параллельны одной и той же прямой AC и равны одной и той же величине (половине длины AC). Из этого следует, что:
$KL \parallel NM$ и $KL = NM$.

5. Мы рассматриваем четырехугольник KLMN, в котором две противолежащие стороны (KL и NM) равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, KLMN — параллелограмм. Утверждение доказано.

Ответ:Утверждение доказано. Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.