Номер 32, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

32. Стороны угла с вершиной $O$ пересечены двумя параллельными прямыми в точках $A$, $B$ и $C$, $D$ соответственно. Найдите:

а) CD, если $OA = 8$ см, $AB = 4$ см, $OD = 6$ см;

б) OC и OD, если $OA : OB = 3 : 5$ и $OD - OC = 8$ (см);

в) OA и OB, если $OC : CD = 2 : 3$ и $OA + OB = 14$ (см).

По условию, стороны угла с вершиной O пересекаются двумя параллельными прямыми. Будем считать, что на одной стороне угла лежат точки A и B, а на другой — C и D. При этом первая параллельная прямая проходит через точки A и C, а вторая — через B и D. Таким образом, прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

В этой конфигурации треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBD$ подобны. Основанием для подобия является то, что угол при вершине O у них общий, а углы $\angle OAC$ и $\angle OBD$ равны как соответственные при параллельных прямых $AC$ и $BD$ и секущей $OB$. Аналогично, $\angle OCA = \angle ODB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон, которая будет использоваться для решения всех пунктов задачи: $$ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} $$

а)

Дано: $OA = 8$ см, $AB = 4$ см, $OD = 6$ см. Точки A и B лежат на одной стороне угла, причем, судя по контексту, в порядке O-A-B. Тогда длина отрезка $OB$ равна сумме длин отрезков $OA$ и $AB$: $OB = OA + AB = 8 + 4 = 12$ см. Используем соотношение из подобия треугольников $\triangle OAC$ и $\triangle OBD$: $$ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} $$ Подставим известные значения: $$ \frac{8}{12} = \frac{OC}{6} $$ Выразим $OC$: $$ OC = \frac{8 \cdot 6}{12} = \frac{48}{12} = 4 \text{ см} $$ Искомый отрезок $CD$ — это разность длин отрезков $OD$ и $OC$: $$ CD = OD - OC = 6 - 4 = 2 \text{ см} $$ Ответ: $CD = 2$ см.

б)

Дано: $OA:OB = 3:5$ и $OD - OC = 8$ см. Из подобия треугольников $\triangle OAC$ и $\triangle OBD$ имеем: $$ \frac{OC}{OD} = \frac{OA}{OB} $$ Поскольку $OA:OB = 3:5$, то и $\frac{OC}{OD} = \frac{3}{5}$. Это означает, что мы можем представить длины отрезков $OC$ и $OD$ через коэффициент пропорциональности $x$: $OC = 3x$, $OD = 5x$. Используем второе условие: $OD - OC = 8$ см. Подставим выражения через $x$: $$ 5x - 3x = 8 $$ $$ 2x = 8 $$ $$ x = 4 $$ Теперь найдем длины искомых отрезков: $OC = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см. $OD = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см. Ответ: $OC = 12$ см, $OD = 20$ см.

в)

Дано: $OC:CD = 2:3$ и $OA + OB = 14$ см. Сначала найдем отношение $\frac{OC}{OD}$. Точки C и D лежат на одной стороне угла в порядке O-C-D. Поэтому $OD = OC + CD$. Из отношения $OC:CD = 2:3$ можно выразить длины через коэффициент пропорциональности $x$: $OC = 2x$, $CD = 3x$. Тогда $OD = 2x + 3x = 5x$. Теперь найдем отношение длин отрезков $OC$ и $OD$: $$ \frac{OC}{OD} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5} $$ Из подобия треугольников $\triangle OAC$ и $\triangle OBD$ следует, что: $$ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{2}{5} $$ Теперь выразим длины $OA$ и $OB$ через другой коэффициент пропорциональности $y$: $OA = 2y$, $OB = 5y$. Используем второе условие: $OA + OB = 14$ см. Подставим выражения через $y$: $$ 2y + 5y = 14 $$ $$ 7y = 14 $$ $$ y = 2 $$ Найдем длины искомых отрезков: $OA = 2y = 2 \cdot 2 = 4$ см. $OB = 5y = 5 \cdot 2 = 10$ см. Ответ: $OA = 4$ см, $OB = 10$ см.