Номер 36, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

36. К какой из вершин треугольника ближе расположен центр вписанной окружности?

Центр вписанной окружности треугольника, также известный как инцентр, является точкой пересечения биссектрис его углов. Чтобы определить, к какой из вершин он расположен ближе, необходимо сравнить расстояния от инцентра до каждой из вершин.

Пусть дан треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A$, $B$, $C$ и соответствующими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Обозначим центр вписанной окружности как $I$, а ее радиус как $r$. По определению, инцентр $I$ равноудален от всех сторон треугольника на расстояние $r$.

Рассмотрим расстояние от инцентра $I$ до вершины $A$, то есть длину отрезка $IA$. Проведем из точки $I$ перпендикуляр $ID$ к стороне $AB$. Длина этого перпендикуляра равна радиусу $r$. Отрезок $AI$ является биссектрисой угла $A$, поэтому угол $\angle IAD = \alpha/2$. В получившемся прямоугольном треугольнике $ADI$ соотношение между катетом $ID$, гипотенузой $IA$ и углом $\angle IAD$ выражается через синус:

$sin(\angle IAD) = \frac{ID}{IA}$

Подставив известные значения, получим:

$sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{IA}$

Отсюда можно выразить расстояние от инцентра до вершины $A$:

$IA = \frac{r}{sin(\frac{\alpha}{2})}$

Аналогичные формулы можно вывести для расстояний от инцентра до вершин $B$ и $C$:

$IB = \frac{r}{sin(\frac{\beta}{2})}$

$IC = \frac{r}{sin(\frac{\gamma}{2})}$

Чтобы найти, какое из расстояний ($IA$, $IB$ или $IC$) наименьшее, нам нужно сравнить знаменатели этих дробей. Поскольку радиус $r$ — это постоянная положительная величина для данного треугольника, то наименьшее расстояние будет соответствовать дроби с наибольшим знаменателем.

Нам нужно сравнить значения $sin(\frac{\alpha}{2})$, $sin(\frac{\beta}{2})$ и $sin(\frac{\gamma}{2})$. Углы треугольника $\alpha, \beta, \gamma$ находятся в интервале от 0 до 180 градусов. Следовательно, их половины ($\frac{\alpha}{2}$, $\frac{\beta}{2}$, $\frac{\gamma}{2}$) находятся в интервале от 0 до 90 градусов. В этом интервале функция синуса является строго возрастающей, то есть большему значению угла соответствует большее значение синуса.

Таким образом, наибольшее значение синуса будет у половины самого большого угла треугольника. Если, например, $\alpha$ — наибольший угол треугольника ($\alpha > \beta$ и $\alpha > \gamma$), то $sin(\frac{\alpha}{2})$ будет иметь наибольшее значение, а значит, расстояние $IA$ будет наименьшим.

Следовательно, центр вписанной окружности расположен ближе всего к вершине самого большого угла треугольника.

Ответ: Центр вписанной окружности расположен ближе к той вершине треугольника, угол при которой имеет наибольшую величину.