Номер 42, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

42. Для каких острых углов:
а) $\sin x < \cos x$;
б) $\sin x > \cos x?$

а) синус меньше косинуса
Пусть $\alpha$ — это острый угол, то есть угол, для которого выполняется неравенство $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Нам необходимо определить, при каких значениях $\alpha$ из этого промежутка синус будет меньше косинуса: $\sin(\alpha) < \cos(\alpha)$.
В интервале $(0^\circ, 90^\circ)$ косинус угла всегда положителен ($\cos(\alpha) > 0$). Это позволяет нам разделить обе части неравенства на $\cos(\alpha)$, не меняя знака неравенства:
$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} < 1$
Используя тригонометрическое тождество $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, мы получаем:
$\tan(\alpha) < 1$
Известно, что $\tan(45^\circ) = 1$. Подставим это значение в наше неравенство:
$\tan(\alpha) < \tan(45^\circ)$
Функция тангенса является возрастающей на всем интервале острых углов. Это значит, что для двух углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ из этого интервала, если $\tan(\alpha_1) < \tan(\alpha_2)$, то и $\alpha_1 < \alpha_2$.
Применяя это свойство к нашему неравенству, получаем: $\alpha < 45^\circ$.
Так как мы рассматриваем только острые углы ($\alpha > 0^\circ$), итоговое решение представляет собой интервал.
Ответ: для острых углов $\alpha$, удовлетворяющих условию $0^\circ < \alpha < 45^\circ$.

б) синус больше косинуса
Аналогично, найдем, при каких острых углах $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) синус будет больше косинуса: $\sin(\alpha) > \cos(\alpha)$.
Снова разделим неравенство на $\cos(\alpha)$, который положителен для острых углов:
$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} > 1$
Это неравенство эквивалентно следующему:
$\tan(\alpha) > 1$
Заменим 1 на $\tan(45^\circ)$:
$\tan(\alpha) > \tan(45^\circ)$
Так как функция тангенса возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, из неравенства для тангенсов следует соответствующее неравенство для углов: $\alpha > 45^\circ$.
Учитывая, что $\alpha$ — острый угол, то есть $\alpha < 90^\circ$, получаем конечное решение.
Ответ: для острых углов $\alpha$, удовлетворяющих условию $45^\circ < \alpha < 90^\circ$.