Номер 37, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

37. Постройте треугольник. Изобразите:

а) точку пересечения медиан;

б) точку пересечения биссектрис;

в) точку пересечения высот или их продолжений.

Для решения задачи сначала построим произвольный треугольник, назовем его вершины $A$, $B$ и $C$.

а) точку пересечения медиан

1. Определение: Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

2. Построение:

• Находим середину стороны $BC$, обозначим ее $M_a$. Проводим отрезок $AM_a$. Это первая медиана.

• Находим середину стороны $AC$, обозначим ее $M_b$. Проводим отрезок $BM_b$. Это вторая медиана.

• Медианы $AM_a$ и $BM_b$ пересекаются в одной точке. Обозначим ее $O$. Эта точка является искомой.

3. Свойства: Все три медианы треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром масс треугольника. Эта точка всегда находится внутри треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. То есть $AO:OM_a = BO:OM_b = CO:OM_c = 2:1$. Для нахождения точки пересечения достаточно построить две медианы.

Ответ: Точка пересечения медиан (центроид) находится в точке пересечения двух (или трех) медиан треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.

б) точку пересечения биссектрис

1. Определение: Биссектриса угла треугольника — это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, который делит этот угол на две равные части.

2. Построение:

• Строим биссектрису угла $A$. Это луч, выходящий из вершины $A$ и делящий угол пополам. Обозначим отрезок биссектрисы до пересечения со стороной $BC$ как $AL_a$.

• Строим биссектрису угла $B$. Обозначим ее отрезок $BL_b$.

• Биссектрисы $AL_a$ и $BL_b$ пересекаются в одной точке. Обозначим ее $I$. Эта точка является искомой.

3. Свойства: Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется инцентром. Инцентр всегда лежит внутри треугольника и является центром вписанной в треугольник окружности. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника. Для нахождения инцентра достаточно построить две биссектрисы.

Ответ: Точка пересечения биссектрис (инцентр) находится в точке пересечения двух (или трех) биссектрис углов треугольника.

в) точку пересечения высот или их продолжений

1. Определение: Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

2. Построение:

• Из вершины $A$ проводим прямую, перпендикулярную прямой $BC$. Отрезок от вершины $A$ до точки пересечения $H_a$ с прямой $BC$ является высотой.

• Из вершины $B$ проводим прямую, перпендикулярную прямой $AC$. Отрезок от вершины $B$ до точки пересечения $H_b$ с прямой $AC$ является второй высотой.

• Прямые, на которых лежат эти высоты, пересекаются в одной точке. Обозначим ее $H$. Эта точка является искомой.

3. Свойства: Три высоты треугольника (или их продолжения) всегда пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Положение ортоцентра зависит от типа треугольника:

• В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри треугольника.

• В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.

• В тупоугольном треугольнике ортоцентр находится вне треугольника. В этом случае высоты, опущенные из вершин острых углов, падают на продолжения сторон, и для нахождения ортоцентра необходимо продлевать высоты до их пересечения.

Ответ: Точка пересечения высот (ортоцентр) находится в точке пересечения прямых, содержащих две (или три) высоты треугольника. Высота — это перпендикуляр из вершины на противоположную сторону или ее продолжение.