Номер 33, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Разделите данный отрезок на:

а) три равные части;

б) пять равных частей.

Для решения этой задачи используется метод, основанный на теореме Фалеса, который позволяет разделить отрезок на любое количество равных частей с помощью циркуля и линейки.

а) три равные части

Пусть нам дан отрезок $AB$, который необходимо разделить на три равные части.

1. Из точки $A$ проведем произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$. Угол между отрезком $AB$ и лучом $l$ должен быть острым для удобства построения.

2. Возьмем циркуль и установим на нем произвольный раствор (не слишком большой и не слишком маленький). Начиная от точки $A$, отложим на луче $l$ три одинаковых отрезка подряд. Получим точки $A_1, A_2, A_3$ такие, что $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$.

3. Соединим последнюю точку $A_3$ на луче с концом отрезка $B$. Получим отрезок $A_3B$.

4. Теперь построим прямые, проходящие через точки $A_1$ и $A_2$ и параллельные отрезку $A_3B$. Для этого можно, например, построить при вершинах $A_1$ и $A_2$ углы, равные углу $\angle AA_3B$. Эти прямые пересекут исходный отрезок $AB$ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно.

5. Согласно теореме Фалеса, если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне. В нашем случае прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B$ параллельны, и они отсекают на луче $l$ равные отрезки $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$. Следовательно, они отсекут равные отрезки и на отрезке $AB$.

Таким образом, точки $B_1$ и $B_2$ делят отрезок $AB$ на три равные части: $AB_1 = B_1B_2 = B_2B$.

Ответ: Искомые точки, делящие отрезок на три равные части, строятся с помощью вспомогательного луча, на котором откладываются три равных отрезка, и последующего проведения параллельных прямых.

б) пять равных частей

Деление отрезка на пять равных частей выполняется абсолютно аналогично делению на три части, только количество отрезков на вспомогательном луче будет равно пяти.

Пусть нам дан отрезок $CD$.

1. Из точки $C$ проведем произвольный луч $m$, не совпадающий с прямой $CD$.

2. С помощью циркуля отложим на луче $m$ от точки $C$ пять последовательных равных отрезков. Обозначим полученные точки $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$. Таким образом, $CC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C_4 = C_4C_5$.

3. Соединим последнюю точку $C_5$ с другим концом исходного отрезка, точкой $D$.

4. Через точки $C_1, C_2, C_3$ и $C_4$ проведем прямые, параллельные отрезку $C_5D$. Эти прямые пересекут отрезок $CD$ в точках $D_1, D_2, D_3$ и $D_4$ соответственно.

5. По теореме Фалеса, так как параллельные прямые отсекают на луче $m$ пять равных отрезков, то они отсекут и на отрезке $CD$ пять равных отрезков.

В результате мы получаем, что отрезок $CD$ разделен точками $D_1, D_2, D_3, D_4$ на пять равных частей: $CD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3D_4 = D_4D$.

Ответ: Отрезок делится на пять равных частей путем построения вспомогательного луча с пятью равными отрезками и проведения через их концы прямых, параллельных прямой, соединяющей конец пятого отрезка с концом исходного отрезка.