Номер 40, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

40. В каких пределах могут изменяться:

а) тангенс;

б) котангенс острого угла?

а) тангенс
В контексте вопроса речь идет о тангенсе острого угла. Острый угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Для любого острого угла значения синуса и косинуса положительны, а значит, и их отношение (тангенс) будет положительным.
Рассмотрим поведение тангенса на границах интервала:
- Когда угол $\alpha$ стремится к $0^\circ$ (справа, т.е. $\alpha \to 0^+$), значение $\sin(\alpha)$ стремится к 0, а $\cos(\alpha)$ стремится к 1. Следовательно, $\tan(\alpha)$ стремится к $\frac{0}{1} = 0$.
- Когда угол $\alpha$ стремится к $90^\circ$ (слева, т.е. $\alpha \to 90^-$), значение $\sin(\alpha)$ стремится к 1, а $\cos(\alpha)$ стремится к 0 (оставаясь положительным). Следовательно, $\tan(\alpha)$ стремится к $+\infty$.
Так как функция тангенса непрерывна на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, она принимает все возможные значения между 0 и $+\infty$.
Ответ: Тангенс острого угла может принимать любое положительное значение, то есть его значения лежат в интервале $(0; +\infty)$.

б) котангенс острого угла
Котангенс острого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
Поскольку для острого угла и синус, и косинус положительны, котангенс также всегда будет положительным числом.
Рассмотрим поведение котангенса на границах интервала:
- Когда угол $\alpha$ стремится к $0^\circ$ ($\alpha \to 0^+$), значение $\cos(\alpha)$ стремится к 1, а $\sin(\alpha)$ стремится к 0 (оставаясь положительным). Следовательно, $\cot(\alpha)$ стремится к $+\infty$.
- Когда угол $\alpha$ стремится к $90^\circ$ ($\alpha \to 90^-$), значение $\cos(\alpha)$ стремится к 0, а $\sin(\alpha)$ стремится к 1. Следовательно, $\cot(\alpha)$ стремится к $\frac{0}{1} = 0$.
Так как функция котангенса непрерывна на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, она принимает все возможные значения между $+\infty$ и 0.
Ответ: Котангенс острого угла может принимать любое положительное значение, то есть его значения лежат в интервале $(0; +\infty)$.