Номер 39, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

39. В каких пределах могут изменяться:

а) синус;

б) косинус острого угла?

а) синус
Рассмотрим значение синуса для произвольного угла $\alpha$. В тригонометрии синус угла определяется через единичную окружность (окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат). Синус угла $\alpha$ — это ордината (координата $y$) точки на этой окружности, которая соответствует повороту на угол $\alpha$ от положительного направления оси абсцисс.
Поскольку любая точка на единичной окружности имеет координаты $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению $x^2 + y^2 = 1$, то ее ордината $y$ может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1. Минимальное значение, равное -1, достигается в нижней точке окружности (угол $270^\circ$ или $-90^\circ$), а максимальное, равное 1, — в верхней точке (угол $90^\circ$).
Таким образом, область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \sin(\alpha) \le 1$
Ответ: синус может изменяться в пределах от -1 до 1 включительно.

б) косинус острого угла
Острый угол — это угол $\alpha$, величина которого строго больше $0^\circ$ и строго меньше $90^\circ$, то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы. Пусть длина прилежащего катета равна $b$, а длина гипотенузы — $c$. Тогда по определению:
$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$
Длины сторон треугольника всегда являются положительными числами, поэтому $b > 0$ и $c > 0$. Следовательно, их отношение $\frac{b}{c}$ также всегда положительно. Отсюда имеем первое условие: $\cos(\alpha) > 0$.
В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, поэтому любой катет всегда короче гипотенузы. В нашем случае $b < c$. Разделив обе части этого неравенства на положительное число $c$, получаем $\frac{b}{c} < 1$. Отсюда имеем второе условие: $\cos(\alpha) < 1$.
Объединяя оба условия, получаем, что косинус острого угла может принимать любые значения из интервала $(0, 1)$. В виде двойного неравенства это записывается так:
$0 < \cos(\alpha) < 1$
Ответ: косинус острого угла изменяется в пределах от 0 до 1, не включая граничные значения 0 и 1.