Номер 41, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Для каких углов $sin(x) = cos(x)$?

Для нахождения углов, у которых синус равен косинусу, необходимо решить тригонометрическое уравнение. Существует несколько способов решения.

Алгебраическое решение

Запишем равенство в виде уравнения, где $\alpha$ - искомый угол:

$\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $\cos(\alpha)$. Это действие корректно, так как если $\cos(\alpha) = 0$, то $\sin(\alpha)$ должен быть равен $\pm 1$. В этом случае равенство $\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$ не выполняется ($ \pm 1 \neq 0$), следовательно, среди решений нет углов, для которых $\cos(\alpha)=0$.

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 1$

Используя определение тангенса $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, получаем уравнение:

$\tan(\alpha) = 1$

Общее решение этого уравнения записывается в виде:

$\alpha = \arctan(1) + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Главное значение арктангенса единицы равно $\frac{\pi}{4}$ (в радианах) или 45° (в градусах). Таким образом, получаем общую формулу для всех искомых углов:

В радианах: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

В градусах: $\alpha = 45^\circ + 180^\circ \cdot k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Геометрическое решение

Рассмотрим единичную тригонометрическую окружность. Косинус угла $\alpha$ соответствует координате $x$ точки на окружности, а синус угла $\alpha$ - координате $y$.

Условие $\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$ означает, что мы ищем точки на единичной окружности, у которых координата $y$ равна координате $x$. Геометрически это точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 1$ и прямой $y = x$.

Подставим $y=x$ в уравнение окружности, чтобы найти координаты этих точек:

$x^2 + x^2 = 1$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Поскольку $y=x$, точки пересечения имеют координаты:
1. $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$ (или 45°), а также всем углам вида $\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.
2. $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка соответствует углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$ (или 225°), а также всем углам вида $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Эти две серии решений можно объединить в одну, так как углы $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$ отличаются на $\pi$ (180°). Таким образом, общее решение можно записать как $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: Синус равен косинусу для всех углов $\alpha$, определяемых формулой $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$ (в радианах) или $\alpha = 45^\circ + 180^\circ \cdot k$ (в градусах), где $k$ — любое целое число.