Номер 48, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

48. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 1.

Рассмотрим равносторонний треугольник, обозначим его как $ABC$. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны $60^\circ$. По условию задачи, длина стороны треугольника равна 1. Обозначим сторону как $a$, то есть $a = 1$.

Для нахождения высоты $h$ можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Использование теоремы Пифагора

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это означает, что она делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AH = HC$.

Длина отрезка $HC$ будет равна половине длины стороны $a$:

$HC = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$

Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому треугольник $BHC$ является прямоугольным. В этом треугольнике:

• $BC$ - гипотенуза, равная $a = 1$.
• $HC$ - катет, равный $\frac{1}{2}$.
• $BH$ - второй катет, который является искомой высотой $h$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

Подставим известные значения:

$1^2 = h^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$1 = h^2 + \frac{1}{4}$

Выразим $h^2$:

$h^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $h$ (длина может быть только положительной):

$h = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Способ 2: Использование тригонометрических функций

Рассмотрим тот же прямоугольный треугольник $BHC$. Угол $C$ в равностороннем треугольнике равен $60^\circ$. Высота $h = BH$ является катетом, противолежащим этому углу, а сторона $BC = 1$ — гипотенузой.

Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(C) = \frac{BH}{BC}$

Подставим известные значения:

$\sin(60^\circ) = \frac{h}{1}$

Значение синуса $60^\circ$ является табличным: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно:

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$