Номер 54, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

54. Найдите tgA, если:

а) $cos A = \frac{5}{13}$;

б) $cos A = 0.8$.

а) Для нахождения тангенса угла A, зная его косинус, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$.Из этого тождества выразим квадрат тангенса:$\text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} - 1$.Теперь подставим в формулу заданное значение $\cos A = \frac{5}{13}$:$\text{tg}^2 A = \frac{1}{\left(\frac{5}{13}\right)^2} - 1 = \frac{1}{\frac{25}{169}} - 1 = \frac{169}{25} - 1$.Приведем выражение к общему знаменателю:$\text{tg}^2 A = \frac{169}{25} - \frac{25}{25} = \frac{144}{25}$.В задачах по геометрии обычно предполагается, что рассматриваемый угол является острым. Для острого угла тангенс положителен. Поэтому, извлекая квадратный корень, получаем:$\text{tg} A = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$.Данную дробь можно также представить в десятичном виде: $2,4$.Ответ: $\frac{12}{5}$ или $2,4$.

б) Решим этот пункт аналогично предыдущему. Сначала представим десятичную дробь $0,8$ в виде обыкновенной для удобства вычислений: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.Используем то же самое тождество: $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$.Выражаем $\text{tg}^2 A$:$\text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} - 1$.Подставляем значение $\cos A = \frac{4}{5}$:$\text{tg}^2 A = \frac{1}{\left(\frac{4}{5}\right)^2} - 1 = \frac{1}{\frac{16}{25}} - 1 = \frac{25}{16} - 1$.Приводим к общему знаменателю:$\text{tg}^2 A = \frac{25}{16} - \frac{16}{16} = \frac{9}{16}$.Предполагая, что угол $A$ острый, его тангенс будет положительным. Извлекаем квадратный корень:$\text{tg} A = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.Поскольку исходное значение было дано в виде десятичной дроби, ответ также можно представить в этом виде: $\frac{3}{4} = 0,75$.Ответ: $0,75$.