Номер 55, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

55. Докажите тождество $1 + \text{ctg}^2 A = \frac{1}{\text{sin}^2 A}$.

Для доказательства тождества $1 + \text{ctg}^2 A = \frac{1}{\sin^2 A}$ мы последовательно преобразуем его левую часть, пока она не станет равна правой.

Шаг 1: Использование определения котангенса
Вспомним, что котангенс угла определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу.$\text{ctg} A = \frac{\cos A}{\sin A}$.Соответственно, квадрат котангенса будет равен:$\text{ctg}^2 A = \left(\frac{\cos A}{\sin A}\right)^2 = \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$.

Шаг 2: Подстановка в левую часть тождества
Заменим $\text{ctg}^2 A$ в левой части доказываемого равенства на полученное выражение:$1 + \text{ctg}^2 A = 1 + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$.

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю
Чтобы сложить $1$ и дробь $\frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$, представим $1$ как дробь со знаменателем $\sin^2 A$:$1 = \frac{\sin^2 A}{\sin^2 A}$.Теперь мы можем сложить дроби:$1 + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A}{\sin^2 A} + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A}$.

Шаг 4: Применение основного тригонометрического тождества
Основное тригонометрическое тождество (или тригонометрическая единица) гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице:$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.Используем это тождество для упрощения числителя нашей дроби:$\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{1}{\sin^2 A}$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть исходного равенства равна $\frac{1}{\sin^2 A}$, что в точности совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано. Цепочка преобразований левой части: $1 + \text{ctg}^2 A = 1 + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{1}{\sin^2 A}$.