Номер 43, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

43. Для каких углов:

а) тангенс меньше котангенса; $ \tan x < \cot x $

б) тангенс больше котангенса? $ \tan x > \cot x $

а) тангенс меньше котангенса

Нам необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняется неравенство $\tan(\alpha) < \cot(\alpha)$.

Прежде всего, определим область допустимых значений. Тангенс не определен для углов $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$, а котангенс — для углов $\alpha = k\pi$, где $k$ — любое целое число. Таким образом, мы ищем решения при $\alpha \neq \frac{k\pi}{2}$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:$\tan(\alpha) - \cot(\alpha) < 0$

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:$\frac{\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} < 0$

Воспользуемся формулами двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Числитель равен $-\cos(2\alpha)$, а знаменатель равен $\frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.$\frac{-\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} < 0$

Упрощая, получаем:$-2\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} < 0$$-2\cot(2\alpha) < 0$

Разделим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства на противоположный:$\cot(2\alpha) > 0$

Котангенс является положительным в I и III координатных четвертях. Следовательно, аргумент котангенса, то есть $2\alpha$, должен лежать в следующих интервалах:$k\pi < 2\alpha < k\pi + \frac{\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $\alpha$, разделим все части этого двойного неравенства на 2:$\frac{k\pi}{2} < \alpha < \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{k\pi}{2} < \alpha < \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) тангенс больше котангенса

Теперь нам необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняется неравенство $\tan(\alpha) > \cot(\alpha)$.

Мы можем использовать те же преобразования, что и в пункте а). Проделав их, мы придем к неравенству:$-2\cot(2\alpha) > 0$

Разделим обе части на $-2$ и снова изменим знак неравенства:$\cot(2\alpha) < 0$

Котангенс является отрицательным во II и IV координатных четвертях. Следовательно, аргумент котангенса $2\alpha$ должен лежать в интервалах:$k\pi + \frac{\pi}{2} < 2\alpha < k\pi + \pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части этого двойного неравенства на 2, чтобы найти $\alpha$:$\frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.