Номер 35, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

35. К какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной окружности?

Центр описанной окружности треугольника расположен ближе всего к его наибольшей стороне.

Докажем это утверждение. Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$. Центр описанной окружности, обозначим его $O$, — это точка, равноудаленная от всех трех вершин треугольника. Расстояние от центра $O$ до любой вершины равно радиусу описанной окружности $R$.

Расстояние от центра $O$ до любой из сторон, например, до стороны $a$, равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на эту сторону. Обозначим это расстояние как $d_a$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный центром $O$ и двумя вершинами, являющимися концами стороны $a$. Боковые стороны этого треугольника равны радиусу $R$, а основание равно $a$. Перпендикуляр $d_a$, опущенный из вершины $O$ на основание $a$, является в этом треугольнике также и медианой, поэтому он делит сторону $a$ пополам.

В получившемся прямоугольном треугольнике с катетами $d_a$ и $a/2$ и гипотенузой $R$ по теореме Пифагора выполняется равенство:

$R^2 = d_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Отсюда можно выразить квадрат расстояния до стороны $a$:

$d_a^2 = R^2 - \frac{a^2}{4}$

Следовательно, само расстояние равно:

$d_a = \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$

Аналогичные формулы справедливы и для расстояний до сторон $b$ и $c$:

$d_b = \sqrt{R^2 - \frac{b^2}{4}}$

$d_c = \sqrt{R^2 - \frac{c^2}{4}}$

Чтобы найти, к какой стороне центр окружности расположен ближе, нужно найти наименьшее из расстояний $d_a$, $d_b$, $d_c$.

Анализируя формулу $d_x = \sqrt{R^2 - \frac{x^2}{4}}$, мы видим, что радиус $R$ является константой для данного треугольника. Значение подкоренного выражения $R^2 - \frac{x^2}{4}$ тем меньше, чем больше вычитаемое $\frac{x^2}{4}$. В свою очередь, $\frac{x^2}{4}$ тем больше, чем больше длина стороны $x$.

Таким образом, наименьшее расстояние $d_x$ соответствует наибольшей длине стороны $x$. Это означает, что центр описанной окружности всегда находится ближе к самой длинной стороне треугольника, независимо от его вида (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

Ответ: Центр описанной окружности ближе всего расположен к наибольшей стороне треугольника.