Номер 28, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Чему равны углы равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $40^\circ$?

В равнобедренной (или равнобокой) трапеции углы при каждом из оснований равны. Пусть углы при одном основании равны $\alpha$, а углы при другом основании равны $\beta$.

Одно из ключевых свойств любой трапеции заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей. Таким образом, мы можем записать соотношение: $\alpha + \beta = 180^\circ$

Противолежащие углы в равнобедренной трапеции — это один угол при верхнем основании и один угол при нижнем основании (например, $\alpha$ и $\beta$). По условию задачи, их разность равна $40^\circ$. Поскольку в трапеции (если она не является прямоугольником) один из этих углов будет острым, а другой — тупым, их разность не равна нулю. Запишем это условие в виде уравнения, ধরেм, что $\beta$ - больший угол: $\beta - \alpha = 40^\circ$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta - \alpha = 40^\circ \end{cases} $

Для решения этой системы можно сложить оба уравнения. Это позволит исключить переменную $\alpha$:
$(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 40^\circ$
$2\beta = 220^\circ$
$\beta = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$

Теперь, зная значение $\beta$, мы можем найти $\alpha$, подставив его в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:
$\alpha + 110^\circ = 180^\circ$
$\alpha = 180^\circ - 110^\circ$
$\alpha = 70^\circ$

Таким образом, мы определили, что в трапеции есть два острых угла по $70^\circ$ и два тупых угла по $110^\circ$.

Ответ: углы равнобедренной трапеции равны $70^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$ и $110^\circ$.