Номер 21, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Постройте прямоугольник по двум соседним сторонам.

Для построения прямоугольника по двум заданным соседним сторонам, длины которых обозначим как $a$ и $b$, с использованием циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующую последовательность шагов.

1. Начертим произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $A$, которая будет одной из вершин будущего прямоугольника.

2. С помощью циркуля измерим длину первого отрезка $a$. Установив ножку циркуля в точку $A$, отложим эту длину на прямой $l$, отметив точку $B$. Отрезок $AB$ является первой стороной прямоугольника, $AB = a$.

3. Далее необходимо построить прямой угол в вершине $A$. Для этого проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $l$.
а) Установим ножку циркуля в точку $A$ и проведем окружность произвольного радиуса, которая пересечет прямую $l$ в двух точках.
б) Из этих двух точек пересечения, как из центров, проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус на предыдущем шаге) так, чтобы они пересеклись в некоторой точке $M$, не лежащей на прямой $l$.
в) Соединим точку $A$ с точкой $M$ при помощи линейки. Прямая $AM$ будет перпендикулярна прямой $l$, следовательно, угол $\angle MAB$ равен $90^\circ$.

4. С помощью циркуля измерим длину второго отрезка $b$. Отложим эту длину от точки $A$ вдоль построенной перпендикулярной прямой $AM$. Отметим полученную точку $D$. Отрезок $AD$ является второй стороной прямоугольника, $AD = b$.

5. Теперь найдем положение четвертой вершины $C$. Эта вершина должна быть удалена от точки $D$ на расстояние $a$ и от точки $B$ на расстояние $b$.
а) Раствор циркуля установим равным длине $a$ ($AB$). Проведем дугу с центром в точке $D$.
б) Раствор циркуля установим равным длине $b$ ($AD$). Проведем дугу с центром в точке $B$.

6. Точка пересечения этих двух дуг и есть искомая четвертая вершина прямоугольника — точка $C$.

7. Соединим отрезками точку $C$ с точками $B$ и $D$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником. Докажем это. По построению, стороны $AB = a$ и $AD = b$, а угол $\angle DAB = 90^\circ$. Также по построению, $DC = a$ (как радиус дуги с центром в $D$) и $BC = b$ (как радиус дуги с центром в $B$). Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны ($AB=DC$ и $AD=BC$), он является параллелограммом. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, построение выполнено верно.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник.