Номер 19, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В прямоугольнике острый угол между его диагоналями равен $50^\circ$. Найдите углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $O$ делит диагонали на четыре равных отрезка.

Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника. Рассмотрим один из треугольников, образованный двумя половинами диагоналей и одной из сторон прямоугольника, например, $\triangle AOB$, где $A$ и $B$ — соседние вершины прямоугольника. Так как отрезки диагоналей от вершины до точки пересечения равны ($AO = BO$), то треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным.

По условию, острый угол между диагоналями равен $50^{\circ}$. Этот угол является углом при вершине $O$ в одном из двух равнобедренных треугольников. Пусть $\angle AOB = 50^{\circ}$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ углы при основании $AB$ равны, то есть $\angle OAB = \angle OBA$. Найдем величину этих углов:$\angle OAB = \angle OBA = (180^{\circ} - \angle AOB) / 2$$\angle OAB = (180^{\circ} - 50^{\circ}) / 2 = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ}$

Эти углы являются углами, которые диагонали образуют с одной из сторон прямоугольника. Таким образом, один из искомых углов равен $65^{\circ}$.

Все углы в прямоугольнике прямые, то есть равны $90^{\circ}$. Угол при вершине $A$ прямоугольника, $\angle DAB$, разделен диагональю $AC$ на два угла: $\angle OAB$ и $\angle DAO$. Следовательно:$\angle DAB = \angle OAB + \angle DAO = 90^{\circ}$

Мы уже нашли, что $\angle OAB = 65^{\circ}$. Теперь можем найти второй угол $\angle DAO$, который диагональ $AC$ образует со стороной $AD$:$\angle DAO = 90^{\circ} - \angle OAB = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}$

Таким образом, диагонали образуют со сторонами прямоугольника углы $65^{\circ}$ и $25^{\circ}$.

Ответ: $25^{\circ}$ и $65^{\circ}$.