Номер 26, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Диагонали четырехугольника равны $a$ и $b$. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$, длины диагоналей которого равны $AC = a$ и $BD = b$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Четырехугольник, образованный этими точками, — это $KLMN$. Нам необходимо найти его периметр.

Для решения задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ является его средней линией, так как точки $K$ и $L$ — середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, длина $KL$ равна половине длины диагонали $AC$: $KL = \frac{1}{2} AC = \frac{a}{2}$.
Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией, поэтому $MN = \frac{1}{2} AC = \frac{a}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольники, образованные второй диагональю $BD$. В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ — средняя линия, откуда $KN = \frac{1}{2} BD = \frac{b}{2}$.
В треугольнике $BCD$ отрезок $LM$ — средняя линия, откуда $LM = \frac{1}{2} BD = \frac{b}{2}$.

Периметр $P$ четырехугольника $KLMN$ — это сумма длин его сторон:$P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK$.
Подставим найденные значения:$P_{KLMN} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$.

Сгруппируем и сложим слагаемые:$P_{KLMN} = (\frac{a}{2} + \frac{a}{2}) + (\frac{b}{2} + \frac{b}{2}) = a + b$.
Таким образом, периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника, равен сумме длин его диагоналей. Ответ: $a + b$