Номер 31, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Найдите отрезки, на которые делит среднюю линию трапеции одна из ее диагоналей.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи, длины оснований равны $BC = 4$ см и $AD = 10$ см.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, где точка $M$ является серединой боковой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой боковой стороны $CD$. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, то есть $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Проведем одну из диагоналей трапеции, например, диагональ $AC$. Пусть точка $P$ — это точка пересечения диагонали $AC$ и средней линии $MN$. Диагональ $AC$ делит среднюю линию $MN$ на два отрезка: $MP$ и $PN$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $M$ — середина стороны $AB$ и $MP \parallel BC$ (поскольку $MN \parallel BC$), то по теореме о средней линии треугольника, отрезок $MP$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$. Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна.

Следовательно, длина отрезка $MP$ равна: $MP = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как $N$ — середина стороны $CD$ и $PN \parallel AD$ (поскольку $MN \parallel AD$), то по той же теореме отрезок $PN$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$.

Следовательно, длина отрезка $PN$ равна: $PN = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Таким образом, диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки длиной 2 см и 5 см.

Ответ: 2 см и 5 см.