Номер 3, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Изобразите замкнутую пятистороннюю ломаную, которая имеет:

а) две точки самопересечения;

б) три точки самопересечения;

в) пять точек самопересечения.

Задача состоит в том, чтобы изобразить замкнутую ломаную из пяти звеньев (пятиугольник, который может быть невыпуклым и самопересекающимся) с заданным числом точек самопересечения. Ломаная состоит из пяти вершин $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ и пяти отрезков, соединяющих их последовательно: $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_1$.

Чтобы получить две точки самопересечения, можно расположить вершины таким образом, чтобы фигура напоминала наконечник стрелы или вогнутый пятиугольник. Примером такого расположения вершин является следующая фигура:

В этой ломаной сторона $A_2A_3$ пересекается со стороной $A_4A_5$, а сторона $A_3A_4$ пересекается со стороной $A_5A_1$. Других пересечений нет, итого ровно две точки.

Ответ: Пример ломаной с двумя точками самопересечения изображен на рисунке выше.

Для получения трех точек самопересечения необходимо более сложное взаимное расположение вершин. Одна из вершин должна быть расположена "внутри" фигуры, образованной другими вершинами. Следующая схема демонстрирует такую ломаную:

Здесь пересекаются следующие пары неcмежных сторон: $A_1A_2$ и $A_3A_4$; $A_2A_3$ и $A_5A_1$; $A_3A_4$ и $A_5A_1$. Всего получается три точки самопересечения.

Ответ: Пример ломаной с тремя точками самопересечения изображен на рисунке выше.

Максимальное число точек самопересечения для пятисторонней ломаной равно 5. Это достигается, когда каждая сторона пересекает две не смежные с ней стороны. Такая фигура известна как пентаграмма или пятиконечная звезда. Её можно получить, если расположить вершины $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ в углах правильного пятиугольника и соединить их "через одну". Однако, по условию задачи, мы должны соединять вершины последовательно ($A_1$ с $A_2$, $A_2$ с $A_3$ и т.д.). Чтобы получить 5 пересечений, нужно расположить сами вершины в форме звезды и соединить их по порядку.

В этой фигуре каждая из пяти сторон пересекает ровно две другие (не смежные ей) стороны, что в сумме дает $\frac{5 \times 2}{2} = 5$ уникальных точек пересечения.

Ответ: Пример ломаной с пятью точками самопересечения (пентаграмма) изображен на рисунке выше.