Номер 18, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек $E(1; 2)$ и $F(3; 4):$

A. $(2; 1).$

B. $(-2; 0).$

C. $(0; 2).$

D. $(0; 5).$

Чтобы найти точку на оси ординат, равноудаленную от точек $E(1; 2)$ и $F(3; 4)$, нужно выполнить следующие шаги.

1. Обозначим искомую точку как $M$. Поскольку точка $M$ лежит на оси ординат, ее абсцисса (координата $x$) равна 0. Таким образом, координаты точки $M$ можно записать как $(0; y)$.

2. Условие "равноудаленная" означает, что расстояние от точки $M$ до точки $E$ равно расстоянию от точки $M$ до точки $F$. Математически это выражается как $ME = MF$. Чтобы упростить вычисления и избежать работы с квадратными корнями, удобнее работать с квадратами расстояний: $ME^2 = MF^2$.

3. Используем формулу для вычисления квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

4. Найдем квадрат расстояния $ME^2$ между точками $M(0; y)$ и $E(1; 2)$:
$ME^2 = (1 - 0)^2 + (2 - y)^2 = 1^2 + (4 - 4y + y^2) = 1 + 4 - 4y + y^2 = 5 - 4y + y^2$.

5. Найдем квадрат расстояния $MF^2$ между точками $M(0; y)$ и $F(3; 4)$:
$MF^2 = (3 - 0)^2 + (4 - y)^2 = 3^2 + (16 - 8y + y^2) = 9 + 16 - 8y + y^2 = 25 - 8y + y^2$.

6. Приравняем полученные выражения для $ME^2$ и $MF^2$ и решим получившееся уравнение относительно $y$:
$5 - 4y + y^2 = 25 - 8y + y^2$
Члены $y^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:
$5 - 4y = 25 - 8y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые значения — в правую:
$8y - 4y = 25 - 5$
$4y = 20$
$y = \frac{20}{4}$
$y = 5$.

7. Таким образом, ордината искомой точки равна 5. Координаты точки $M$ — $(0; 5)$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту D.

Ответ: D. (0; 5).