Номер 15, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Найдите координаты центра окружности, заданной уравнением

$x^2 + y^2 - 12y + 4x = -15:$

A. (2; -6).

B. (-2; 6).

C. (6; -2).

D. (-6; 2).

Чтобы найти координаты центра окружности, необходимо привести заданное уравнение к каноническому виду. Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $r$ имеет следующий вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Исходное уравнение дано в развернутом виде:

$x^2 + y^2 - 12y + 4x = -15$

Для приведения к каноническому виду сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 12y) = -15$

Теперь необходимо дополнить каждую группу до полного квадрата. Это делается с помощью формул сокращенного умножения: $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$ и $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$.

1. Для группы с $x$: $(x^2 + 4x)$. Здесь $x^2$ - это квадрат первого слагаемого ($m^2$), а $4x$ - это удвоенное произведение первого на второе ($2mn$). Значит, $m=x$, а $2xn = 4x$, откуда $n=2$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $n^2 = 2^2 = 4$.

$(x^2 + 4x + 4) = (x + 2)^2$

2. Для группы с $y$: $(y^2 - 12y)$. Здесь $y^2$ - это квадрат первого слагаемого ($m^2$), а $-12y$ - это удвоенное произведение первого на второе ($-2mn$). Значит, $m=y$, а $-2yn = -12y$, откуда $n=6$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $n^2 = 6^2 = 36$.

$(y^2 - 12y + 36) = (y - 6)^2$

Чтобы равенство не нарушилось, добавим эти же числа (4 и 36) к правой части исходного уравнения:

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 12y + 36) = -15 + 4 + 36$

Теперь заменим выражения в скобках на соответствующие им полные квадраты и вычислим значение в правой части:

$(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 25$

Сравним полученное уравнение с каноническим видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Для наглядности перепишем наше уравнение:

$(x - (-2))^2 + (y - 6)^2 = 5^2$

Отсюда видно, что координаты центра окружности $(a, b)$ равны $(-2, 6)$. Радиус окружности $r$ равен 5.

Ответ: Координаты центра окружности: (-2; 6).