Номер 9, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых $x = -y$:

А. Прямые, параллельные оси абсцисс.

В. Биссектрисы первого и третьего координатных углов.

С. Биссектрисы второго и четвертого координатных углов.

D. Прямые, перпендикулярные оси абсцисс.

Нам необходимо определить, какое геометрическое место точек на координатной плоскости описывается уравнением $x = -y$. Для удобства анализа преобразуем это уравнение к стандартному виду уравнения прямой: $y = -x$.

Это уравнение представляет собой прямую, которая проходит через начало координат (точка $(0,0)$ удовлетворяет уравнению) и имеет угловой коэффициент, равный $-1$.

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

A. Прямые, параллельные оси абсцисс.
Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (оси $Ox$), имеет вид $y = c$, где $c$ — некоторая константа. Уравнение $y = -x$ не является уравнением такого вида, поскольку значение $y$ изменяется в зависимости от $x$. Таким образом, этот вариант неверен.

B. Биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон. Для координатных углов стороны — это оси координат. Расстояние от точки $(x,y)$ до оси $Ox$ равно $|y|$, а до оси $Oy$ — $|x|$. Условие равноудаленности записывается как $|y| = |x|$. В первом ($x>0, y>0$) и третьем ($x<0, y<0$) координатных углах координаты имеют одинаковые знаки, поэтому уравнение биссектрисы для этих углов — $y = x$. Это не соответствует исходному уравнению. Таким образом, этот вариант неверен.

C. Биссектрисы второго и четвертого координатных углов.
Во втором ($x<0, y>0$) и четвертом ($x>0, y<0$) координатных углах координаты имеют противоположные знаки. Условие равноудаленности от осей $|y| = |x|$ в этом случае раскрывается как $y = -x$ (для второго квадранта) или $-y = x$ (для четвертого квадранта), что в обоих случаях эквивалентно уравнению $y = -x$. Это в точности совпадает с уравнением, данным в условии задачи. Таким образом, этот вариант верен.

D. Прямые, перпендикулярные оси абсцисс.
Уравнение прямой, перпендикулярной оси абсцисс (то есть параллельной оси $Oy$), имеет вид $x = c$, где $c$ — некоторая константа. Уравнение $y = -x$ не является уравнением такого вида. Таким образом, этот вариант неверен.

Ответ: C. Биссектрисы второго и четвертого координатных углов.