Номер 8, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Точки $O(0; 0)$, $A(10; 8)$, $B(8; 2)$, $C(2; 6)$ являются вершинами четырехугольника. Найдите координаты точки $P$ пересечения его диагоналей:

A. $(5; 4).$

B. $(4; 5).$

C. $(3; 4).$

D. $(4; 3).$

Для нахождения координат точки P пересечения диагоналей четырехугольника необходимо составить и решить систему уравнений прямых, на которых лежат эти диагонали. Вершины четырехугольника заданы точками O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2), C(2; 6). Диагонали соединяют противолежащие вершины. В общем случае для четырехугольника OABC диагоналями могут быть пары отрезков (OA, BC), (OB, AC) или (OC, AB). Необходимо выбрать ту пару, которая соответствует пересекающимся диагоналям. Проверив угловые коэффициенты, можно установить, что отрезки OA и BC пересекаются, в то время как другие пары параллельны. Следовательно, искомая точка является пересечением диагоналей OA и BC.

1. Уравнение прямой, содержащей диагональ OA.Прямая проходит через точки O(0; 0) и A(10; 8). Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$. Угловой коэффициент k равен:$k_{OA} = \frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \frac{8 - 0}{10 - 0} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.Таким образом, уравнение прямой OA: $y = \frac{4}{5}x$.

2. Уравнение прямой, содержащей диагональ BC.Прямая проходит через точки B(8; 2) и C(2; 6). Сначала найдем ее угловой коэффициент:$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{6 - 2}{2 - 8} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$.Теперь используем уравнение прямой, проходящей через точку, с известным угловым коэффициентом $y - y_1 = k(x - x_1)$. Возьмем точку B(8; 2):$y - 2 = -\frac{2}{3}(x - 8)$$y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3} + 2$$y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3} + \frac{6}{3}$Уравнение прямой BC: $y = -\frac{2}{3}x + \frac{22}{3}$.

3. Координаты точки пересечения P.Для нахождения точки пересечения решим систему из двух полученных уравнений:$\begin{cases} y = \frac{4}{5}x \\ y = -\frac{2}{3}x + \frac{22}{3} \end{cases}$Приравняем правые части уравнений, чтобы найти координату x:$\frac{4}{5}x = -\frac{2}{3}x + \frac{22}{3}$Перенесем слагаемые с x в левую часть:$\frac{4}{5}x + \frac{2}{3}x = \frac{22}{3}$Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 15:$\frac{12}{15}x + \frac{10}{15}x = \frac{22}{3}$$\frac{22}{15}x = \frac{22}{3}$Теперь найдем x:$x = \frac{22}{3} \cdot \frac{15}{22} = \frac{15}{3} = 5$.Для нахождения координаты y подставим значение $x=5$ в первое, более простое уравнение:$y = \frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \cdot 5 = 4$.Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей P равны (5; 4), что соответствует варианту A.

Ответ: (5; 4).