Номер 13, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку $A(2; 1)$, и параллельную прямую $y = 2x$:

A. $x - 2y = 1$.

B. $2x + y = 3$.

C. $2x - y = 3$.

D. $x + 2y = 4$.

Для решения задачи необходимо найти уравнение прямой, которое удовлетворяет двум условиям:

1. Прямая должна быть параллельна прямой $y = 2x$. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты ($k$) равны. Уравнение $y = 2x$ представлено в виде $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=2$. Следовательно, у искомой прямой угловой коэффициент также должен быть равен 2.

2. Прямая должна проходить через точку A(2; 1). Это значит, что координаты точки A должны удовлетворять уравнению прямой, то есть при подстановке $x=2$ и $y=1$ в уравнение должно получиться верное равенство.

Проверим каждый из предложенных вариантов на соответствие этим двум условиям.

A. $x - 2y = 1$

Выразим $y$ из уравнения, чтобы найти его угловой коэффициент:
$ -2y = -x + 1 $
$ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} $
Угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \neq 2$, эта прямая не параллельна прямой $y=2x$. Вариант не подходит.

B. $2x + y = 3$

Выразим $y$ из уравнения:
$ y = -2x + 3 $
Угловой коэффициент $k = -2$. Так как $-2 \neq 2$, эта прямая не параллельна прямой $y=2x$. Вариант не подходит.

C. $2x - y = 3$

Выразим $y$ из уравнения:
$ -y = -2x + 3 $
$ y = 2x - 3 $
Угловой коэффициент $k = 2$. Условие параллельности выполнено.
Теперь проверим, проходит ли эта прямая через точку A(2; 1). Подставим $x=2$ и $y=1$ в исходное уравнение $2x - y = 3$:
$ 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 $
$ 3 = 3 $
Равенство верное, значит, точка лежит на прямой. Оба условия выполнены. Этот вариант является правильным решением.

D. $x + 2y = 4$

Выразим $y$ из уравнения:
$ 2y = -x + 4 $
$ y = -\frac{1}{2}x + 2 $
Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. Так как $-\frac{1}{2} \neq 2$, эта прямая не параллельна прямой $y=2x$. Вариант не подходит.

Таким образом, единственное уравнение, удовлетворяющее условиям задачи, это $2x - y = 3$.

Ответ: C. $2x - y = 3$.