Номер 20, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Определите вид четырехугольника $OBCD$, если $O(0; 0)$, $B(4; 2)$, $C(6; 6)$, $D(2; 4)$:

А. Прямоугольник.

В. Квадрат.

С. Ромб.

D. Трапеция.

Для определения вида четырехугольника OBCD с вершинами в точках O(0; 0), B(4; 2), C(6; 6) и D(2; 4), проанализируем его свойства: длины сторон, параллельность сторон и свойства диагоналей.

1. Вычисление длин сторон
Используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
- Длина стороны OB: $OB = \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
- Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(6-4)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.
- Длина стороны CD: $CD = \sqrt{(2-6)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
- Длина стороны DO: $DO = \sqrt{(0-2)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.
Поскольку все четыре стороны четырехугольника равны ($OB = BC = CD = DO = \sqrt{20}$), данная фигура является ромбом или квадратом.

2. Проверка углов и диагоналей
Чтобы отличить ромб от квадрата, нужно проверить, являются ли углы прямыми. Это можно сделать двумя способами: проверить перпендикулярность смежных сторон или сравнить длины диагоналей (в квадрате они равны, в ромбе — нет).

Способ А: Сравнение длин диагоналей
- Длина диагонали OC: $OC = \sqrt{(6-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
- Длина диагонали BD: $BD = \sqrt{(2-4)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Так как длины диагоналей не равны ($OC \neq BD$), углы четырехугольника не прямые, следовательно, это не квадрат.

Способ Б: Проверка перпендикулярности смежных сторон
Проверим, перпендикулярны ли стороны OB и BC, вычислив скалярное произведение соответствующих векторов $\vec{OB}$ и $\vec{BC}$.
$\vec{OB} = (4-0, 2-0) = (4, 2)$
$\vec{BC} = (6-4, 6-2) = (2, 4)$
Скалярное произведение: $\vec{OB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 8 + 8 = 16$.
Поскольку скалярное произведение не равно нулю, угол между сторонами OB и BC не является прямым. Это также подтверждает, что фигура не является квадратом.

Вывод:
Четырехугольник OBCD имеет все стороны равной длины, но его углы не являются прямыми. Такое определение соответствует ромбу.

Ответ: C. Ромб.