Номер 17, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Предложите какой-нибудь способ аналитического задания:

а) полуплоскости;

б) выпуклого многоугольника.

а) В декартовой системе координат любая прямая задается общим уравнением $Ax + By + C = 0$, где коэффициенты $A$ и $B$ не равны нулю одновременно. Эта прямая разделяет всю плоскость на две области, которые называются полуплоскостями. Для всех точек $(x, y)$, лежащих по одну сторону от прямой, выражение $Ax + By + C$ будет иметь один и тот же знак (например, положительный), а для всех точек, лежащих по другую сторону, — противоположный знак (отрицательный). Точки, лежащие на самой прямой, удовлетворяют равенству $Ax + By + C = 0$.
Таким образом, полуплоскость — это множество точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют линейному неравенству. Если полуплоскость включает свою границу (прямую), она называется замкнутой и задается нестрогим неравенством: $Ax + By + C \ge 0$ или $Ax + By + C \le 0$. Если граница не включается, полуплоскость называется открытой и задается строгим неравенством: $Ax + By + C > 0$ или $Ax + By + C < 0$.
Ответ: Аналитически полуплоскость задается одним линейным неравенством вида $Ax + By + C \ge 0$ (или с другим знаком неравенства: $\le$, $>$, $<$).

б) Выпуклый многоугольник представляет собой область на плоскости, которая является пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей. Каждая сторона многоугольника лежит на некоторой прямой, которая является границей одной из этих полуплоскостей. Весь многоугольник при этом лежит в одной из двух полуплоскостей, определяемых этой прямой.
Пусть выпуклый $n$-угольник ограничен $n$ прямыми, которые задаются уравнениями $A_i x + B_i y + C_i = 0$ для $i = 1, 2, ..., n$. Для каждой такой прямой можно подобрать знаки коэффициентов $A_i, B_i, C_i$ таким образом, чтобы все точки многоугольника удовлетворяли одному и тому же типу неравенства, например, $A_i x + B_i y + C_i \le 0$.
Тогда точка $(x, y)$ принадлежит выпуклому многоугольнику (включая его границу) тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют системе всех этих $n$ линейных неравенств одновременно.
Ответ: Аналитически выпуклый многоугольник задается системой конечного числа линейных неравенств:$\begin{cases}A_1 x + B_1 y + C_1 \le 0 \\A_2 x + B_2 y + C_2 \le 0 \\\vdots \\A_n x + B_n y + C_n \le 0\end{cases}$, где $n$ — количество сторон многоугольника.