Номер 5, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом:

a) $k = 1$;

б) $k = 2$;

в) $k = \frac{1}{2}$;

г) $k = -1$;

д) $k = -2$;

е) $k = -\frac{1}{2}$.

Изобразите эти прямые.

Общее уравнение прямой с угловым коэффициентом $k$ имеет вид $y = kx + b$, где $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

По условию задачи, все прямые проходят через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставив эти координаты в общее уравнение, получим: $0 = k \cdot 0 + b$, откуда следует, что $b = 0$.

Таким образом, уравнение для всех искомых прямых имеет вид $y = kx$.

Теперь найдём уравнение для каждого конкретного значения $k$.

а) $k = 1$;

Подставляем значение $k=1$ в общую формулу $y = kx$. Получаем уравнение $y = 1 \cdot x$, что равносильно $y=x$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Для её построения, кроме начала координат $(0,0)$, можно взять, например, точку $(1,1)$.

Ответ: $y = x$

б) $k = 2$;

Подставляем значение $k=2$ в формулу $y = kx$. Получаем $y=2x$. Эта прямая также проходит через первый и третий координатные углы, но идёт "круче", чем $y=x$, так как при том же изменении $x$ изменение $y$ в два раза больше. Для построения можно взять точку $(1,2)$.

Ответ: $y = 2x$

в) $k = \frac{1}{2}$;

Подставляем значение $k=\frac{1}{2}$ в формулу $y = kx$. Получаем $y=\frac{1}{2}x$. Эта прямая проходит через первый и третий координатные углы, но является более "пологой", чем $y=x$. Для построения удобно взять точку с чётной абсциссой, например, $(2,1)$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x$

г) $k = -1$;

Подставляем значение $k=-1$ в формулу $y = kx$. Получаем $y=-x$. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Для её построения можно взять точку $(1,-1)$.

Ответ: $y = -x$

д) $k = -2$;

Подставляем значение $k=-2$ в формулу $y = kx$. Получаем $y=-2x$. Прямая проходит через второй и четвертый координатные углы. Она убывает "круче", чем $y=-x$. Для построения можно взять точку $(1,-2)$.

Ответ: $y = -2x$

е) $k = -\frac{1}{2}$.

Подставляем значение $k=-\frac{1}{2}$ в формулу $y = kx$. Получаем $y=-\frac{1}{2}x$. Прямая проходит через второй и четвертый координатные углы, но убывает более "полого", чем $y=-x$. Для построения удобно взять точку $(2,-1)$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$

Изображение этих прямых:

Все прямые являются графиками функции прямой пропорциональности $y=kx$ и проходят через начало координат $(0, 0)$. Угловой коэффициент $k$ определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$.

Свойство 1: Если $k > 0$, прямая расположена в I и III координатных четвертях (возрастает).

Свойство 2: Если $k < 0$, прямая расположена во II и IV координатных четвертях (убывает).

Свойство 3: Чем больше абсолютное значение $|k|$, тем "круче" идёт прямая, то есть она расположена ближе к оси $Oy$.