Номер 19, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Выясните, как расположены относительно друг друга окружность, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 1$, и окружность, заданная уравнением:

а) $x^2 + 6x + y^2 - 8y - 11 = 0$;

б) $x^2 + 6x + y^2 - 8y = 0$;

в) $x^2 + 6x + y^2 - 8y + 9 = 0$;

г) $x^2 + 6x + y^2 - 8y + 16 = 0$.

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо найти их центры и радиусы, а затем сравнить расстояние между центрами с суммой и разностью их радиусов.

Первая окружность задана уравнением $x^2 + y^2 = 1$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $O_1(0, 0)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{1} = 1$.

Рассмотрим каждую из четырех заданных окружностей.

а) $x^2 + 6x + y^2 - 8y - 11 = 0$

1. Приведем уравнение второй окружности к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ путем выделения полных квадратов:

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 8y) - 11 = 0$

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2) - 4^2 - 11 = 0$

$(x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 - 11 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 36$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 6^2$

Центр второй окружности $O_2(-3, 4)$, ее радиус $R_2 = 6$.

2. Найдем расстояние $d$ между центрами окружностей $O_1(0, 0)$ и $O_2(-3, 4)$:

$d = \sqrt{(-3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

3. Сравним расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов:

$R_1 = 1$, $R_2 = 6$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 6 = 7$.

Модуль разности радиусов: $|R_2 - R_1| = |6 - 1| = 5$.

Так как расстояние между центрами $d = 5$ равно разности радиусов $|R_2 - R_1|$, окружности касаются внутренним образом.

Ответ: окружности касаются внутренним образом.

б) $x^2 + 6x + y^2 - 8y = 0$

1. Приведем уравнение второй окружности к каноническому виду:

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 8y + 16) - 16 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 5^2$

Центр второй окружности $O_2(-3, 4)$, ее радиус $R_2 = 5$.

2. Расстояние между центрами $O_1(0, 0)$ и $O_2(-3, 4)$ такое же, как в предыдущем пункте: $d=5$.

3. Сравним расстояние с радиусами:

$R_1 = 1$, $R_2 = 5$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 5 = 6$.

Модуль разности радиусов: $|R_2 - R_1| = |5 - 1| = 4$.

Поскольку выполняется неравенство $|R_2 - R_1| < d < R_1 + R_2$ (то есть $4 < 5 < 6$), окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: окружности пересекаются в двух точках.

в) $x^2 + 6x + y^2 - 8y + 9 = 0$

1. Приведем уравнение второй окружности к каноническому виду:

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 9 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$

Центр второй окружности $O_2(-3, 4)$, ее радиус $R_2 = 4$.

2. Расстояние между центрами $O_1(0, 0)$ и $O_2(-3, 4)$ равно $d=5$.

3. Сравним расстояние с радиусами:

$R_1 = 1$, $R_2 = 4$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 4 = 5$.

Модуль разности радиусов: $|R_2 - R_1| = |4 - 1| = 3$.

Так как расстояние между центрами $d = 5$ равно сумме радиусов $R_1 + R_2$, окружности касаются внешним образом.

Ответ: окружности касаются внешним образом.

г) $x^2 + 6x + y^2 - 8y + 16 = 0$

1. Приведем уравнение второй окружности к каноническому виду:

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 16 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 9$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 3^2$

Центр второй окружности $O_2(-3, 4)$, ее радиус $R_2 = 3$.

2. Расстояние между центрами $O_1(0, 0)$ и $O_2(-3, 4)$ равно $d=5$.

3. Сравним расстояние с радиусами:

$R_1 = 1$, $R_2 = 3$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 3 = 4$.

Модуль разности радиусов: $|R_2 - R_1| = |3 - 1| = 2$.

Так как расстояние между центрами $d = 5$ больше суммы радиусов $R_1 + R_2 = 4$, окружности не пересекаются и расположены одна вне другой.

Ответ: окружности не пересекаются.