Номер 16, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Докажите, что уравнение:
a) $x^2 - 4x + y^2 = 0$;
б) $x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$ задает окружность. Найдите ее радиус и координаты центра.

а)

Чтобы доказать, что уравнение $x^2 - 4x + y^2 = 0$ задает окружность, необходимо привести его к каноническому виду $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, где $(h, k)$ — это координаты центра окружности, а $r$ — ее радиус. Для этого используется метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем члены, содержащие переменную $x$:

$(x^2 - 4x) + y^2 = 0$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $2ab = 4x$, откуда $b=2$. Следовательно, нам нужно добавить $b^2=2^2=4$. Чтобы уравнение осталось верным, мы должны добавить и вычесть 4 (или добавить 4 к обеим частям уравнения):

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$

Теперь свернем полный квадрат и перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

Полученное уравнение можно представить в стандартном виде:

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

Это и есть каноническое уравнение окружности. Сравнивая его с общей формулой $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, мы можем определить параметры окружности:

Координаты центра: $(h, k) = (2, 0)$.

Радиус: $r = 2$.

Поскольку уравнение удалось привести к каноническому виду окружности с действительным положительным радиусом ($r=2 > 0$), доказано, что оно задает окружность.

Ответ: Уравнение задает окружность с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $r=2$.

б)

Рассмотрим уравнение $x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$. Приведем его к каноническому виду, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$, а свободный член перенесем в правую часть уравнения:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) = -4$

Теперь дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата, прибавив необходимые числа к обеим частям уравнения.

Для выражения $(x^2 + 2x)$, чтобы получить полный квадрат $(x+1)^2 = x^2+2x+1$, нужно добавить $(\frac{2}{2})^2 = 1$.

Для выражения $(y^2 - 4y)$, чтобы получить полный квадрат $(y-2)^2 = y^2-4y+4$, нужно добавить $(\frac{-4}{2})^2 = 4$.

Прибавим 1 и 4 к обеим частям уравнения:

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = -4 + 1 + 4$

Свернем полные квадраты в левой части и вычислим значение в правой части:

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$

Запишем уравнение в стандартном виде, чтобы явно видеть координаты центра и радиус:

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 1^2$

Это каноническое уравнение окружности. Из сравнения с общей формулой $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ находим:

Координаты центра: $(h, k) = (-1, 2)$.

Радиус: $r = 1$.

Уравнение успешно приведено к каноническому виду окружности с положительным радиусом ($r=1 > 0$), следовательно, оно задает окружность.

Ответ: Уравнение задает окружность с центром в точке $(-1, 2)$ и радиусом $r=1$.