Номер 13, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек:

a) $A(1; 2)$, $B(3; 2);$

б) $A(1; 2)$, $B(2; 3).$

а) Пусть искомая точка $M$ лежит на оси абсцисс (оси $Ox$), следовательно, ее ордината равна нулю, а координаты имеют вид $(x; 0)$.
По условию, точка $M$ равноудалена от точек $A(1; 2)$ и $B(3; 2)$. Это означает, что расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до $B$: $MA = MB$.
Чтобы избежать работы с квадратными корнями в формуле расстояния, возведем обе части равенства в квадрат: $MA^2 = MB^2$.
Формула квадрата расстояния между точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Найдем квадрат расстояния $MA^2$ между точками $M(x; 0)$ и $A(1; 2)$:
$MA^2 = (x - 1)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 1)^2 + (-2)^2 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5$.
Найдем квадрат расстояния $MB^2$ между точками $M(x; 0)$ и $B(3; 2)$:
$MB^2 = (x - 3)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 3)^2 + (-2)^2 = x^2 - 6x + 9 + 4 = x^2 - 6x + 13$.
Теперь составим уравнение, приравняв полученные выражения для квадратов расстояний:
$x^2 - 2x + 5 = x^2 - 6x + 13$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-2x + 5 = -6x + 13$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$6x - 2x = 13 - 5$.
$4x = 8$.
$x = \frac{8}{4} = 2$.
Таким образом, абсцисса искомой точки равна 2. Координаты точки: $(2; 0)$.
Ответ: $(2; 0)$.

б) Аналогично, ищем точку $M(x; 0)$ на оси абсцисс, равноудаленную от точек $A(1; 2)$ и $B(2; 3)$.
Условие равноудаленности в виде квадратов расстояний: $MA^2 = MB^2$.
Найдем квадрат расстояния $MA^2$ между точками $M(x; 0)$ и $A(1; 2)$:
$MA^2 = (x - 1)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 1)^2 + (-2)^2 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5$.
Найдем квадрат расстояния $MB^2$ между точками $M(x; 0)$ и $B(2; 3)$:
$MB^2 = (x - 2)^2 + (0 - 3)^2 = (x - 2)^2 + (-3)^2 = x^2 - 4x + 4 + 9 = x^2 - 4x + 13$.
Приравняем полученные выражения:
$x^2 - 2x + 5 = x^2 - 4x + 13$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-2x + 5 = -4x + 13$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4x - 2x = 13 - 5$.
$2x = 8$.
$x = \frac{8}{2} = 4$.
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(4; 0)$.
Ответ: $(4; 0)$.