Номер 8, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Определите вид треугольника $ABC$, если его вершины имеют координаты:

a) $A(-2; -1)$, $B(2; -1)$, $C(-2; 1);$

б) $A(-2; -2)$, $B(2; -2)$, $C(0; 1).$

Чтобы определить вид треугольника, необходимо найти длины его сторон и сравнить их, а также проверить, выполняется ли для них теорема Пифагора. Длину отрезка между точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ будем находить по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Для удобства будем вычислять квадраты длин сторон $d^2$.

а) Даны вершины треугольника A(-2; -1), B(2; -1), C(-2; 1).

1. Найдем квадрат длины стороны AB:

$AB^2 = (2 - (-2))^2 + (-1 - (-1))^2 = (2 + 2)^2 + (-1 + 1)^2 = 4^2 + 0^2 = 16$.

2. Найдем квадрат длины стороны AC:

$AC^2 = (-2 - (-2))^2 + (1 - (-1))^2 = (-2 + 2)^2 + (1 + 1)^2 = 0^2 + 2^2 = 4$.

3. Найдем квадрат длины стороны BC:

$BC^2 = (-2 - 2)^2 + (1 - (-1))^2 = (-4)^2 + (1 + 1)^2 = 16 + 2^2 = 16 + 4 = 20$.

Длины сторон равны $AB = \sqrt{16} = 4$, $AC = \sqrt{4} = 2$, $BC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Так как все стороны имеют разную длину, треугольник является разносторонним.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны:

$AB^2 + AC^2 = 16 + 4 = 20$.

Полученная сумма равна квадрату третьей стороны: $BC^2 = 20$.

Так как $AB^2 + AC^2 = BC^2$, треугольник ABC является прямоугольным. Прямой угол - это угол, противолежащий самой большой стороне (гипотенузе BC), то есть угол A.

Ответ: треугольник ABC - прямоугольный.

б) Даны вершины треугольника A(-2; -2), B(2; -2), C(0; 1).

1. Найдем квадрат длины стороны AB:

$AB^2 = (2 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2 = (2 + 2)^2 + (-2 + 2)^2 = 4^2 + 0^2 = 16$.

2. Найдем квадрат длины стороны AC:

$AC^2 = (0 - (-2))^2 + (1 - (-2))^2 = (0 + 2)^2 + (1 + 2)^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.

3. Найдем квадрат длины стороны BC:

$BC^2 = (0 - 2)^2 + (1 - (-2))^2 = (-2)^2 + (1 + 2)^2 = 4 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.

Мы видим, что квадраты длин сторон AC и BC равны: $AC^2 = BC^2 = 13$. Следовательно, равны и сами стороны: $AC = BC = \sqrt{13}$.

Так как две стороны треугольника равны, он является равнобедренным. Третья сторона (основание) $AB = \sqrt{16} = 4$.

Проверим, является ли он прямоугольным. Сумма квадратов двух равных сторон: $AC^2 + BC^2 = 13 + 13 = 26$. Квадрат третьей стороны $AB^2 = 16$. Так как ни одна из сумм квадратов двух сторон не равна квадрату третьей ($13+13 \neq 16$ и $16+13 \neq 13$), треугольник не является прямоугольным.

Ответ: треугольник ABC - равнобедренный.