Номер 12, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Каким неравенством задается геометрическое место точек, не при- надлежащих кругу с центром в точке $C(x_0; y_0)$ и радиусом $R$?

Для того чтобы определить неравенство, задающее геометрическое место точек, не принадлежащих кругу, сперва необходимо вспомнить определение самого круга и соответствующее ему неравенство.

Круг с центром в точке $C(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ представляет собой множество всех точек $M(x; y)$ на плоскости, расстояние от которых до центра $C$ не превышает радиус $R$. Расстояние $d$ между точкой $M(x; y)$ и центром $C(x_0; y_0)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$.

Таким образом, условие, что точка $M(x; y)$ принадлежит кругу, записывается в виде неравенства: $d \le R$ или $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \le R$.

Поскольку обе части неравенства являются неотрицательными величинами, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства. В результате получаем стандартное неравенство, задающее круг (включая его границу — окружность): $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2$.

Теперь рассмотрим искомое геометрическое место точек, которые не принадлежат данному кругу. Это все точки, которые находятся за пределами круга. Для любой такой точки расстояние от нее до центра $C$ должно быть строго больше, чем радиус $R$.

Это условие можно записать в виде строгого неравенства: $d > R$ или $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} > R$.

Снова возведем обе неотрицательные части неравенства в квадрат, чтобы получить окончательную форму: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 > R^2$.

Это неравенство и описывает все точки плоскости, которые находятся вне круга с центром в точке $C(x_0; y_0)$ и радиусом $R$.

Ответ: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 > R^2$.