Номер 9, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Определите вид четырехугольника, если его вершины имеют координаты:

а) $A(-2; 0)$, $B(0; -2)$, $C(2; 0)$, $D(0; 2)$;

б) $A(-2; 1)$, $B(2; -1)$, $C(3; 1)$, $D(-1; 3)$;

в) $A(-2; 1)$, $B(2; 2)$, $C(1; 4)$, $D(-3; 3)$;

г) $A(-2; -1)$, $B(2; -1)$, $C(1; 2)$, $D(-1; 2).

а) Для определения вида четырехугольника $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2; 0)$, $B(0; -2)$, $C(2; 0)$, $D(0; 2)$ найдем длины его сторон. Длина отрезка между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
$AB = \sqrt{(0-(-2))^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$CD = \sqrt{(0-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$DA = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Так как все стороны равны ($AB=BC=CD=DA$), четырехугольник является ромбом. Чтобы проверить, является ли он квадратом, найдем длины его диагоналей $AC$ и $BD$.
$AC = \sqrt{(2-(-2))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.
$BD = \sqrt{(0-0)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$.
Поскольку диагонали ромба равны ($AC=BD$), этот ромб является квадратом.
Ответ: квадрат.

б) Рассмотрим четырехугольник с вершинами $A(-2; 1)$, $B(2; -1)$, $C(3; 1)$, $D(-1; 3)$. Найдем длины его сторон:
$AB = \sqrt{(2-(-2))^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$CD = \sqrt{(-1-3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$DA = \sqrt{(-1-(-2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Так как противолежащие стороны попарно равны ($AB=CD$ и $BC=DA$), четырехугольник является параллелограммом. Проверим, являются ли смежные стороны перпендикулярными. Для этого найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ и их скалярное произведение.
$\vec{AB} = \{2 - (-2); -1 - 1\} = \{4; -2\}$.
$\vec{BC} = \{3 - 2; 1 - (-1)\} = \{1; 2\}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = 4 - 4 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, $\angle B = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
Ответ: прямоугольник.

в) Рассмотрим четырехугольник с вершинами $A(-2; 1)$, $B(2; 2)$, $C(1; 4)$, $D(-3; 3)$. Найдем длины его сторон:
$AB = \sqrt{(2-(-2))^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
$BC = \sqrt{(1-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$CD = \sqrt{(-3-1)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
$DA = \sqrt{(-3-(-2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Так как противолежащие стороны попарно равны ($AB=CD$ и $BC=DA$), четырехугольник является параллелограммом. Проверим, перпендикулярны ли смежные стороны, найдя скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.
$\vec{AB} = \{2 - (-2); 2 - 1\} = \{4; 1\}$.
$\vec{BC} = \{1 - 2; 4 - 2\} = \{-1; 2\}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -4 + 2 = -2 \ne 0$.
Так как скалярное произведение не равно нулю, смежные стороны не перпендикулярны. Длины смежных сторон $AB=\sqrt{17}$ и $BC=\sqrt{5}$ не равны. Следовательно, это не прямоугольник и не ромб.
Ответ: параллелограмм.

г) Рассмотрим четырехугольник с вершинами $A(-2; -1)$, $B(2; -1)$, $C(1; 2)$, $D(-1; 2)$. Найдем угловые коэффициенты его сторон $k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
$k_{AB} = \frac{-1-(-1)}{2-(-2)} = \frac{0}{4} = 0$.
$k_{BC} = \frac{2-(-1)}{1-2} = \frac{3}{-1} = -3$.
$k_{CD} = \frac{2-2}{-1-1} = \frac{0}{-2} = 0$.
$k_{DA} = \frac{-1-2}{-2-(-1)} = \frac{-3}{-1} = 3$.
Так как $k_{AB} = k_{CD} = 0$, стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Так как $k_{BC} \ne k_{DA}$, стороны $BC$ и $DA$ не параллельны. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет, является трапецией. Проверим, является ли трапеция равнобедренной, найдя длины ее непараллельных сторон $BC$ и $DA$.
$BC = \sqrt{(1-2)^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.
$DA = \sqrt{(-2-(-1))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.
Так как длины непараллельных сторон равны ($BC=DA$), трапеция является равнобедренной.
Ответ: равнобедренная трапеция.