Номер 15, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Найдите точку, равноудаленную от точек:

a) $O(0; 0)$, $B(2; 0)$, $C(0; 2)$;

б) $A(0; 2)$, $B(-1; 1)$, $C(1; 1)$.

а) Пусть искомая точка, равноудаленная от точек $O(0; 0)$, $B(2; 0)$ и $C(0; 2)$, имеет координаты $P(x; y)$. Условие равноудаленности означает, что расстояния от точки $P$ до точек $O$, $B$ и $C$ равны: $PO = PB = PC$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $PO^2 = PB^2 = PC^2$.
Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Выразим квадраты расстояний до каждой из точек:
$PO^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
$PB^2 = (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2$
$PC^2 = (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$
Теперь составим и решим систему уравнений.
1. Приравняем $PO^2$ и $PB^2$:
$x^2 + y^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2$
$0 = -4x + 4$
$4x = 4$
$x = 1$
2. Приравняем $PO^2$ и $PC^2$:
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$
$0 = -4y + 4$
$4y = 4$
$y = 1$
Таким образом, искомая точка имеет координаты $(1; 1)$.
Ответ: $(1; 1)$.

б) Пусть искомая точка, равноудаленная от точек $A(0; 2)$, $B(-1; 1)$ и $C(1; 1)$, имеет координаты $P(x; y)$. Условие равноудаленности: $PA = PB = PC$, или в квадратах: $PA^2 = PB^2 = PC^2$.
Выразим квадраты расстояний до каждой из точек:
$PA^2 = (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$
$PB^2 = (x - (-1))^2 + (y - 1)^2 = (x+1)^2 + (y-1)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + y^2 - 2y + 2$
$PC^2 = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + y^2 - 2y + 2$
Теперь составим и решим систему уравнений.
1. Приравняем $PB^2$ и $PC^2$ (это упростит вычисления, так как их выражения похожи):
$x^2 + 2x + y^2 - 2y + 2 = x^2 - 2x + y^2 - 2y + 2$
$2x = -2x$
$4x = 0$
$x = 0$
2. Теперь приравняем $PA^2$ и $PB^2$, подставив найденное значение $x=0$:
$(0)^2 + y^2 - 4y + 4 = (0)^2 + 2(0) + y^2 - 2y + 2$
$y^2 - 4y + 4 = y^2 - 2y + 2$
$-4y + 4 = -2y + 2$
$4 - 2 = -2y + 4y$
$2 = 2y$
$y = 1$
Таким образом, искомая точка имеет координаты $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.