Вопросы, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Каким уравнением задается прямая на плоскости?

2. Что называется угловым коэффициентом прямой?

3. Какой вид имеет уравнение прямой в общем случае?

4. Какие уравнения задают одну и ту же прямую?

5. Какие уравнения задают параллельные прямые?

6. Какие уравнения задают пересекающиеся прямые?

7. Какие уравнения задают перпендикулярные прямые?

1. Каким уравнением задается прямая на плоскости?

Прямая на плоскости в декартовой системе координат задается линейным уравнением с двумя переменными, $x$ и $y$. Это означает, что переменные входят в уравнение в первой степени. Существует несколько стандартных форм записи этого уравнения, наиболее распространенные из которых:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: $y = kx + b$. Здесь $k$ – это угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси $OX$), а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью $OY$. Эта форма удобна для построения графика, но не может описывать вертикальные прямые.

Общее уравнение прямой: $ax + by + c = 0$. Здесь $a$, $b$, $c$ – некоторые действительные числа, причем хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не должно быть равно нулю ($a^2 + b^2 \neq 0$). Эта форма является универсальной, так как позволяет описать любую прямую на плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Ответ: Прямая на плоскости задается линейным уравнением с двумя переменными, например, в общем виде $ax + by + c = 0$ или в виде уравнения с угловым коэффициентом $y = kx + b$.

2. Что называется угловым коэффициентом прямой?

Угловым коэффициентом прямой (часто обозначается буквой $k$) называется тангенс угла $\alpha$, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс ($OX$). Угол $\alpha$ измеряется от положительного направления оси $OX$ к прямой против часовой стрелки.

Математически это записывается как $k = \tan(\alpha)$.

В уравнении прямой вида $y = kx + b$ число $k$ и является угловым коэффициентом. Геометрически угловой коэффициент характеризует наклон прямой:

• Если $k > 0$, прямая "возрастает" (образует острый угол с осью $OX$).

• Если $k < 0$, прямая "убывает" (образует тупой угол с осью $OX$).

• Если $k = 0$, прямая горизонтальна (параллельна оси $OX$).

• Для вертикальных прямых (параллельных оси $OY$) угловой коэффициент не определен, так как угол наклона равен $90^\circ$, а $\tan(90^\circ)$ не существует.

Ответ: Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла ее наклона к положительному направлению оси абсцисс ($k = \tan(\alpha)$). В уравнении $y=kx+b$ это коэффициент $k$.

3. Какой вид имеет уравнение прямой в общем случае?

В общем случае уравнение прямой на плоскости имеет вид:

$ax + by + c = 0$

где $x$ и $y$ – координаты любой точки на прямой, а $a$, $b$ и $c$ – постоянные коэффициенты. Обязательным условием является то, что хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю, что математически записывается как $a^2 + b^2 \neq 0$. Если бы оба коэффициента $a$ и $b$ были равны нулю, уравнение превратилось бы в $c=0$, что не задает прямую.

Эта форма называется общим уравнением прямой, так как она может описать любую прямую на плоскости без исключений, включая вертикальные прямые (при $b=0$) и горизонтальные (при $a=0$).

Ответ: Общее уравнение прямой имеет вид $ax + by + c = 0$, где $a, b, c$ – константы, причем $a$ и $b$ одновременно не равны нулю.

4. Какие уравнения задают одну и ту же прямую?

Два уравнения задают одну и ту же прямую (т.е. прямые совпадают), если множества их решений идентичны. Это происходит, когда одно уравнение можно получить из другого умножением на некоторое ненулевое число $\lambda$.

Для двух прямых, заданных общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, они задают одну и ту же прямую тогда и только тогда, когда их коэффициенты пропорциональны:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

(Это соотношение подразумевает, что если один из знаменателей равен нулю, то и соответствующий числитель тоже равен нулю).

Для прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, они совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.

Ответ: Уравнения задают одну и ту же прямую, если их соответствующие коэффициенты пропорциональны. Например, для $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ должно выполняться $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

5. Какие уравнения задают параллельные прямые?

Две различные прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Условие параллельности зависит от формы уравнения.

Для прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, они параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а ординаты точек пересечения с осью OY — различны:

$k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.

Для прямых, заданных общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, они параллельны, если коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Это означает, что их нормальные векторы $\vec{n_1}=(a_1,b_1)$ и $\vec{n_2}=(a_2,b_2)$ коллинеарны, но сами прямые не совпадают.

Ответ: Уравнения задают параллельные прямые, если в форме $y=kx+b$ у них $k_1=k_2$ и $b_1 \neq b_2$, а в общем виде $ax+by+c=0$ выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

6. Какие уравнения задают пересекающиеся прямые?

Две прямые на плоскости пересекаются, если они имеют ровно одну общую точку. Это происходит, если они не параллельны.

Для прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, они пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны:

$k_1 \neq k_2$.

Для прямых, заданных общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, они пересекаются, если их коэффициенты при переменных $x$ и $y$ не пропорциональны:

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

Это условие эквивалентно тому, что определитель системы, составленной из коэффициентов при переменных, не равен нулю: $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$.

Ответ: Уравнения задают пересекающиеся прямые, если в форме $y=kx+b$ у них $k_1 \neq k_2$, а в общем виде $ax+by+c=0$ выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

7. Какие уравнения задают перпендикулярные прямые?

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними составляет $90^\circ$.

Для прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, они перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1:

$k_1 \cdot k_2 = -1$ или $k_2 = -\frac{1}{k_1}$.

Это условие не охватывает случай, когда одна прямая горизонтальна ($k_1=0$), а другая вертикальна (k_2 не определен).

Более универсальное условие перпендикулярности формулируется для прямых в общем виде $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$. Они перпендикулярны, если скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1}=(a_1,b_1)$ и $\vec{n_2}=(a_2,b_2)$ равно нулю:

$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.

Это условие справедливо для любых прямых, включая горизонтальные и вертикальные.

Ответ: Уравнения задают перпендикулярные прямые, если в форме $y=kx+b$ произведение их угловых коэффициентов $k_1 \cdot k_2 = -1$, а в общем виде $ax+by+c=0$ выполняется условие $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.