Номер 14, страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек:

а) $A(2; 2)$, $B(2; 4);$

б) $A(1; 5)$, $B(3; 1).$

Чтобы найти точку на оси ординат (оси OY), равноудаленную от двух других точек, нужно учесть, что любая точка на оси ординат имеет координату x, равную нулю. Обозначим искомую точку как M(0; y).

Условие равноудаленности точки M от точек A и B означает, что расстояние AM равно расстоянию BM. Математически это записывается как $AM = BM$. Чтобы избежать работы с квадратными корнями, удобнее использовать равенство квадратов расстояний: $AM^2 = BM^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

а) Даны точки A(2; 2) и B(2; 4). Искомая точка M(0; y).

Найдем квадраты расстояний AM и BM:
$AM^2 = (2 - 0)^2 + (2 - y)^2 = 2^2 + (2 - y)^2 = 4 + 4 - 4y + y^2 = 8 - 4y + y^2$.
$BM^2 = (2 - 0)^2 + (4 - y)^2 = 2^2 + (4 - y)^2 = 4 + 16 - 8y + y^2 = 20 - 8y + y^2$.

Приравняем квадраты расстояний:
$AM^2 = BM^2$
$8 - 4y + y^2 = 20 - 8y + y^2$

Упростим уравнение, убрав $y^2$ из обеих частей:
$8 - 4y = 20 - 8y$
Перенесем члены с y в левую часть, а свободные члены — в правую:
$8y - 4y = 20 - 8$
$4y = 12$
$y = 3$

Таким образом, искомая точка имеет координаты (0; 3).
Ответ: (0; 3).

б) Даны точки A(1; 5) и B(3; 1). Искомая точка M(0; y).

Найдем квадраты расстояний AM и BM:
$AM^2 = (1 - 0)^2 + (5 - y)^2 = 1^2 + (5 - y)^2 = 1 + 25 - 10y + y^2 = 26 - 10y + y^2$.
$BM^2 = (3 - 0)^2 + (1 - y)^2 = 3^2 + (1 - y)^2 = 9 + 1 - 2y + y^2 = 10 - 2y + y^2$.

Приравняем квадраты расстояний:
$AM^2 = BM^2$
$26 - 10y + y^2 = 10 - 2y + y^2$

Упростим уравнение, убрав $y^2$ из обеих частей:
$26 - 10y = 10 - 2y$
Перенесем члены с y в правую часть, а свободные члены — в левую:
$26 - 10 = 10y - 2y$
$16 = 8y$
$y = 2$

Таким образом, искомая точка имеет координаты (0; 2).
Ответ: (0; 2).