Номер 6, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Выясните, как расположена точка относительно окружности, за- данной уравнением $x^2 + y^2 = 25$, если она имеет координаты:

а) (1; 2);

б) (3; 4);

в) (-4; 3);

г) (0; 5);

д) (5; -1).

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 25$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Чтобы определить, как расположена точка с координатами $(x_0, y_0)$ относительно этой окружности, необходимо подставить её координаты в левую часть уравнения и сравнить полученное значение с квадратом радиуса, то есть с 25.
- Если $x_0^2 + y_0^2 < 25$, то точка находится внутри окружности.
- Если $x_0^2 + y_0^2 = 25$, то точка лежит на окружности.
- Если $x_0^2 + y_0^2 > 25$, то точка находится вне окружности.

а) Проверим точку с координатами $(1; 2)$.
Подставим значения $x=1$ и $y=2$ в выражение $x^2 + y^2$:
$1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
Сравниваем результат с 25: $5 < 25$.
Следовательно, точка расположена внутри окружности.
Ответ: точка расположена внутри окружности.

б) Проверим точку с координатами $(3; 4)$.
Подставим значения $x=3$ и $y=4$:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка расположена на окружности.

в) Проверим точку с координатами $(-4; 3)$.
Подставим значения $x=-4$ и $y=3$:
$(-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка расположена на окружности.

г) Проверим точку с координатами $(0; 5)$.
Подставим значения $x=0$ и $y=5$:
$0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка расположена на окружности.

д) Проверим точку с координатами $(5; -1)$.
Подставим значения $x=5$ и $y=-1$:
$5^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26$.
Сравниваем результат с 25: $26 > 25$.
Следовательно, точка расположена вне окружности.
Ответ: точка расположена вне окружности.