Вопросы, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как выражается расстояние между точками через их координаты?

2. Каким уравнением задается окружность на координатной плоскости?

3. Каким неравенством задается круг на координатной плоскости?

1. Как выражается расстояние между точками через их координаты?

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости выводится из теоремы Пифагора. Рассмотрим две произвольные точки $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2)$. Мы можем построить прямоугольный треугольник, где отрезок $AB$ будет гипотенузой, а катеты будут параллельны осям координат. Длины катетов будут равны модулям разности соответствующих координат: $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$.
Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Обозначив расстояние между точками $A$ и $B$ как $d$, получим: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Чтобы найти само расстояние $d$, необходимо извлечь квадратный корень из правой части уравнения.
Ответ: Расстояние $d$ между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ выражается формулой: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

2. Каким уравнением задается окружность на координатной плоскости?

Окружность представляет собой множество всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии (называемом радиусом) от одной заданной точки (называемой центром).
Пусть центр окружности — это точка $C(x_0, y_0)$, а ее радиус равен $R$. Возьмем любую точку $M(x, y)$, которая лежит на этой окружности. По определению, расстояние между точками $M$ и $C$ должно быть равно $R$.
Используя формулу расстояния между двумя точками, мы можем записать это условие: $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = R$.
Для получения канонического вида уравнения окружности возведем обе части этого равенства в квадрат. Это является равносильным преобразованием, поскольку и расстояние, и радиус — неотрицательные величины.
Ответ: Окружность с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R > 0$ задается уравнением: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. В частном случае, если центр окружности находится в начале координат $(0, 0)$, уравнение упрощается до $x^2 + y^2 = R^2$.

3. Каким неравенством задается круг на координатной плоскости?

Круг — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки (центра) не превышает заданного неотрицательного числа (радиуса). Таким образом, круг включает в себя как точки внутри окружности, так и саму окружность.
Пусть центр круга — точка $C(x_0, y_0)$, а его радиус равен $R$. Для любой точки $M(x, y)$, принадлежащей кругу, расстояние от $M$ до $C$ должно быть меньше или равно $R$.
Запишем это условие с помощью формулы расстояния: $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \le R$.
Возводя обе неотрицательные части неравенства в квадрат, мы получаем неравенство, которое задает круг на координатной плоскости.
Ответ: Круг с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ задается неравенством: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2$.