Номер 9, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Изобразите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых:

а) $x \ge 0$;

б) $y < 0$;

в) $x \le 0, y \ge 0$;

г) $xy > 0$.

а) Геометрическое место точек, для которых выполняется условие $x \geq 0$, представляет собой правую полуплоскость. Это множество включает все точки, находящиеся справа от оси ординат ($Oy$), а также все точки на самой оси $Oy$. Границей этой области является прямая $x=0$ (ось $Oy$), которая включается в искомое множество, так как неравенство нестрогое. Иначе говоря, это первый и четвертый координатные квадранты вместе с осью $Oy$.
Ответ: Правая полуплоскость, включая ось $Oy$.

б) Условие $y < 0$ задает множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) отрицательна. Эти точки расположены под осью абсцисс ($Ox$). Поскольку неравенство строгое, сама ось $Ox$ (прямая $y=0$) не входит в это множество. Геометрически это нижняя открытая полуплоскость, которая состоит из всех точек третьего и четвертого координатных квадрантов, за исключением их общей границы — оси $Ox$.
Ответ: Нижняя полуплоскость, не включая ось $Ox$.

в) Здесь задана система из двух неравенств: $x \leq 0$ и $y \geq 0$. Первое неравенство, $x \leq 0$, задает левую замкнутую полуплоскость (включая ось $Oy$). Второе неравенство, $y \geq 0$, задает верхнюю замкнутую полуплоскость (включая ось $Ox$). Искомое геометрическое место точек является пересечением этих двух областей, что в точности соответствует второму координатному квадранту. Так как неравенства нестрогие, границы квадранта — отрицательная полуось $Ox$ и положительная полуось $Oy$ — принадлежат этому множеству.
Ответ: Второй координатный квадрант, включая его границы.

г) Неравенство $xy > 0$ выполняется тогда и только тогда, когда переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Это возможно в двух случаях:
1. $x > 0$ и $y > 0$. Это множество точек, расположенных в первом координатном квадранте.
2. $x < 0$ и $y < 0$. Это множество точек, расположенных в третьем координатном квадранте.
Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на координатных осях (где $x=0$ или $y=0$), решением не являются. Таким образом, искомое геометрическое место точек — это объединение открытого первого и открытого третьего координатных квадрантов.
Ответ: Объединение первого и третьего координатных квадрантов, исключая координатные оси.