Номер 12, страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Точки $O(0; 0)$, $A(8; 2)$, $B(10; 8)$, $C(2; 6)$ являются вершинами четырехугольника. Найдите координаты точки $P$ пересечения его диагоналей.

Для нахождения координат точки $P$ пересечения диагоналей четырехугольника $OABC$ необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит обеим диагоналям. Диагоналями данного четырехугольника являются отрезки $OB$ и $AC$. Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Нахождение точки пересечения через уравнения прямых

Этот способ является универсальным для любого четырехугольника. Он заключается в том, чтобы составить уравнения прямых, на которых лежат диагонали, и затем найти их общую точку, решив систему этих уравнений.

1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки O(0; 0) и B(10; 8).

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Подставим координаты точек $O$ и $B$:

$\frac{x - 0}{10 - 0} = \frac{y - 0}{8 - 0}$

$\frac{x}{10} = \frac{y}{8}$

Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{8}{10}x$

$y = \frac{4}{5}x$

Это первое уравнение системы.

2. Составим уравнение прямой, проходящей через точки A(8; 2) и C(2; 6).

Подставим координаты точек $A$ и $C$ в ту же формулу:

$\frac{x - 8}{2 - 8} = \frac{y - 2}{6 - 2}$

$\frac{x - 8}{-6} = \frac{y - 2}{4}$

Умножим обе части уравнения на $-12$, чтобы избавиться от знаменателей:

$-12 \cdot \frac{x - 8}{-6} = -12 \cdot \frac{y - 2}{4}$

$2(x - 8) = -3(y - 2)$

$2x - 16 = -3y + 6$

$2x + 3y = 22$

Это второе уравнение системы.

3. Решим систему из двух полученных уравнений.

$\begin{cases} y = \frac{4}{5}x \\ 2x + 3y = 22 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$2x + 3 \left(\frac{4}{5}x\right) = 22$

$2x + \frac{12}{5}x = 22$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дроби:

$10x + 12x = 110$

$22x = 110$

$x = \frac{110}{22} = 5$

Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = \frac{4}{5} \cdot 5 = 4$

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей $P$ равны $(5; 4)$.

Способ 2: Использование свойства диагоналей параллелограмма

Можно проверить, не является ли данный четырехугольник параллелограммом. У параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей совпадают. Найдем координаты середин диагоналей $OB$ и $AC$.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находятся по формулам: $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

1. Найдем середину диагонали OB.

Координаты точек O(0; 0) и B(10; 8).

$x_P = \frac{0 + 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_P = \frac{0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Координаты середины диагонали $OB$ — (5; 4).

2. Найдем середину диагонали AC.

Координаты точек A(8; 2) и C(2; 6).

$x_P = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_P = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Координаты середины диагонали $AC$ — (5; 4).

Так как середины диагоналей $OB$ и $AC$ совпадают, то четырехугольник $OABC$ является параллелограммом, а точка пересечения его диагоналей $P$ имеет координаты, равные координатам середин диагоналей.

Ответ: Координаты точки $P$ пересечения диагоналей четырехугольника равны (5; 4).