Номер 15, страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Попробуйте найти формулу, выражающую расстояние между двумя точками $A_1(x_1; y_1)$, $A_2(x_2; y_2)$ через их координаты.

Для вывода формулы расстояния между двумя точками $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$ на координатной плоскости воспользуемся теоремой Пифагора.

Представим точки $A_1$ и $A_2$ в системе координат. Расстояние между ними — это длина отрезка $A_1A_2$. Чтобы найти эту длину, построим прямоугольный треугольник, для которого отрезок $A_1A_2$ будет гипотенузой, а катеты будут параллельны осям координат.

Проведем через точку $A_1$ прямую, параллельную оси абсцисс ($Ox$), а через точку $A_2$ — прямую, параллельную оси ординат ($Oy$). Точка их пересечения, обозначим ее $C$, будет иметь координаты $(x_2; y_1)$. Треугольник $A_1CA_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Длины катетов этого треугольника определяются разностью соответствующих координат:

• Длина катета $A_1C$, лежащего на горизонтальной прямой, равна модулю разности абсцисс: $|A_1C| = |x_2 - x_1|$.
• Длина катета $A_2C$, лежащего на вертикальной прямой, равна модулю разности ординат: $|A_2C| = |y_2 - y_1|$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Обозначим искомое расстояние (длину гипотенузы $A_1A_2$) как $d$. Тогда:

$d^2 = |A_1C|^2 + |A_2C|^2$

Подставив выражения для длин катетов, получим:

$d^2 = (|x_2 - x_1|)^2 + (|y_2 - y_1|)^2$

Поскольку квадрат модуля числа равен квадрату самого числа (то есть $(|a|)^2 = a^2$), мы можем убрать знаки модуля:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Чтобы найти расстояние $d$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей равенства. Так как расстояние — это всегда неотрицательная величина, мы берем положительное значение корня:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Это и есть формула, выражающая расстояние между двумя точками через их координаты.

Ответ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$