Страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Изобразите прямую, заданную уравнением:

а) $2x + 3y - 6 = 0$;

б) $x - 2y + 1 = 0$;

в) $y - 2x + 1 = 0$.

а) Чтобы изобразить прямую, заданную уравнением, необходимо найти координаты как минимум двух точек, которые принадлежат этой прямой. Самый простой способ — найти точки пересечения прямой с осями координат.
Уравнение прямой: $2x + 3y - 6 = 0$.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат ($OY$). Для этого примем $x = 0$ и подставим в уравнение:
$2 \cdot 0 + 3y - 6 = 0$
$3y = 6$
$y = 2$
Получили точку $A(0, 2)$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($OX$). Для этого примем $y = 0$ и подставим в уравнение:
$2x + 3 \cdot 0 - 6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$
Получили точку $B(3, 0)$.
Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $A(0, 2)$ и $B(3, 0)$ и провести через них прямую.
Ответ: Прямая проходит через точки с координатами $(0, 2)$ и $(3, 0)$.

б) Изобразим прямую, заданную уравнением $x - 2y + 1 = 0$. Для этого также найдем две точки.
1. Найдем точку пересечения с осью $OY$, подставив $x = 0$ в уравнение:
$0 - 2y + 1 = 0$
$-2y = -1$
$y = \frac{1}{2} = 0.5$
Получили точку $C(0, 0.5)$.
2. Найдем точку пересечения с осью $OX$, подставив $y = 0$ в уравнение:
$x - 2 \cdot 0 + 1 = 0$
$x = -1$
Получили точку $D(-1, 0)$.
Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $C(0, 0.5)$ и $D(-1, 0)$ и провести через них прямую.
Ответ: Прямая проходит через точки с координатами $(0, 0.5)$ и $(-1, 0)$.

в) Изобразим прямую, заданную уравнением $y - 2x + 1 = 0$. Найдем две точки, принадлежащие этой прямой.
1. Найдем точку пересечения с осью $OY$, подставив $x = 0$ в уравнение:
$y - 2 \cdot 0 + 1 = 0$
$y = -1$
Получили точку $E(0, -1)$.
2. Найдем точку пересечения с осью $OX$, подставив $y = 0$ в уравнение:
$0 - 2x + 1 = 0$
$-2x = -1$
$x = \frac{1}{2} = 0.5$
Получили точку $F(0.5, 0)$.
Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $E(0, -1)$ и $F(0.5, 0)$ и провести через них прямую.
Ответ: Прямая проходит через точки с координатами $(0, -1)$ и $(0.5, 0)$.

11. Напишите уравнения прямых, изображенных на рисунке 27.9.

Рис. 27.9

а) Для нахождения уравнения прямой воспользуемся общей формулой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$. Прямая а) проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 1)$. Из точки пересечения с осью $y$ $(0, 1)$ следует, что коэффициент $b = 1$. Подставим координаты второй точки $(-2, 0)$ и значение $b$ в уравнение прямой: $0 = k \cdot (-2) + 1$. Из этого уравнения находим $k$: $2k = 1$, следовательно $k = \frac{1}{2}$. Таким образом, уравнение прямой а) имеет вид $y = \frac{1}{2}x + 1$.
Ответ: $y = \frac{1}{2}x + 1$.

б) Прямая б) проходит через точки $(0, 2)$ и $(1, -1)$. Из точки пересечения с осью $y$ $(0, 2)$ следует, что $b = 2$. Подставим координаты второй точки $(1, -1)$ и значение $b$ в уравнение $y = kx + b$: $-1 = k \cdot 1 + 2$. Отсюда находим $k$: $k = -1 - 2 = -3$. Таким образом, уравнение прямой б) имеет вид $y = -3x + 2$.
Ответ: $y = -3x + 2$.

в) Прямая в) проходит через точки $(2, 0)$ и $(0, -2)$. Из точки пересечения с осью $y$ $(0, -2)$ следует, что $b = -2$. Подставим координаты второй точки $(2, 0)$ в уравнение $y = kx + b$: $0 = k \cdot 2 - 2$. Отсюда находим $k$: $2k = 2$, следовательно $k = 1$. Таким образом, уравнение прямой в) имеет вид $y = x - 2$.
Ответ: $y = x - 2$.

г) Прямая г) проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, -1)$. Из точки пересечения с осью $y$ $(0, -1)$ следует, что $b = -1$. Подставим координаты второй точки $(-2, 0)$ в уравнение $y = kx + b$: $0 = k \cdot (-2) - 1$. Отсюда находим $k$: $-2k = 1$, следовательно $k = -\frac{1}{2}$. Таким образом, уравнение прямой г) имеет вид $y = -\frac{1}{2}x - 1$.
Ответ: $y = -\frac{1}{2}x - 1$.

12. Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых:

a) параллельны;

б) перпендикулярны:

1) $x + y - 2 = 0, x + y + 3 = 0;$

2) $x + y - 2 = 0, x - y - 3 = 0;$

3) $-7x + y = 0, 7x - y + 4 = 0;$

4) $4x - 2y - 8 = 0, -x - 2y + 4 = 0.$

Для определения взаимного расположения двух прямых, заданных общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, используются следующие условия:

1. Условие параллельности: Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Для прямых, заданных общими уравнениями, это условие означает, что коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, а свободные члены не подчиняются этой пропорции: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. Если все три отношения равны, то прямые совпадают.

2. Условие перпендикулярности: Прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно $-1$. Для общих уравнений это условие эквивалентно тому, что скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Проанализируем каждую пару прямых в соответствии с этими условиями.

Проверим каждую пару на выполнение условия параллельности $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

1) $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.

Коэффициенты для первой прямой: $A_1 = 1, B_1 = 1, C_1 = -2$.

Коэффициенты для второй прямой: $A_2 = 1, B_2 = 1, C_2 = 3$.

Проверяем отношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-2}{3}$.

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны.

2) $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = 1, B_1 = 1$ и $A_2 = 1, B_2 = -1$.

Проверяем отношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$.

Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

3) $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = -7, B_1 = 1, C_1 = 0$ и $A_2 = 7, B_2 = -1, C_2 = 4$.

Проверяем отношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{-7}{7} = -1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{0}{4} = 0$.

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны.

4) $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = 4, B_1 = -2$ и $A_2 = -1, B_2 = -2$.

Проверяем отношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{-1} = -4$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-2}{-2} = 1$.

Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, прямые не параллельны.

Ответ: 1, 3.

Проверим каждую пару на выполнение условия перпендикулярности $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

1) $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = 1, B_1 = 1$ и $A_2 = 1, B_2 = 1$.

Проверка: $A_1A_2 + B_1B_2 = (1)(1) + (1)(1) = 1 + 1 = 2$. Так как $2 \neq 0$, прямые не перпендикулярны.

2) $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = 1, B_1 = 1$ и $A_2 = 1, B_2 = -1$.

Проверка: $A_1A_2 + B_1B_2 = (1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

3) $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = -7, B_1 = 1$ и $A_2 = 7, B_2 = -1$.

Проверка: $A_1A_2 + B_1B_2 = (-7)(7) + (1)(-1) = -49 - 1 = -50$. Так как $-50 \neq 0$, прямые не перпендикулярны.

4) $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.

Коэффициенты: $A_1 = 4, B_1 = -2$ и $A_2 = -1, B_2 = -2$.

Проверка: $A_1A_2 + B_1B_2 = (4)(-1) + (-2)(-2) = -4 + 4 = 0$. Условие выполняется, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: 2, 4.

13. Найдите координаты точки пересечения прямых:

а) $x - y - 1 = 0, x + y + 3 = 0;$

б) $x - 3y - 2 = 0, 2x - 5y + 1 = 0.$

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений, которыми заданы эти прямые. Составим систему:

$\begin{cases} x - y - 1 = 0 \\ x + y + 3 = 0 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим первое уравнение со вторым:

$(x - y - 1) + (x + y + 3) = 0 + 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x + 2 = 0$

Отсюда найдем $x$:

$2x = -2$

$x = -1$

Теперь подставим найденное значение $x = -1$ в любое из исходных уравнений, например, во второе, чтобы найти $y$:

$(-1) + y + 3 = 0$

$y + 2 = 0$

$y = -2$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-1, -2)$.

Ответ: $(-1, -2)$

б) Аналогично предыдущему пункту, составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} x - 3y - 2 = 0 \\ 2x - 5y + 1 = 0 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 3y + 2$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$2(3y + 2) - 5y + 1 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$6y + 4 - 5y + 1 = 0$

$y + 5 = 0$

$y = -5$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y = -5$ в выражение для $x$:

$x = 3(-5) + 2$

$x = -15 + 2$

$x = -13$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-13, -5)$.

Ответ: $(-13, -5)$

14. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(0; 1)$ и параллельную прямой:

а) $y = x$;

б) $y = 2x$.

Для нахождения уравнения прямой воспользуемся её общим видом $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (показывает наклон прямой), а $b$ — это коэффициент, отвечающий за сдвиг прямой вдоль оси $y$ (ордината точки пересечения с осью $y$).

Основное условие параллельности двух прямых заключается в том, что их угловые коэффициенты должны быть равны.

По условию задачи, искомая прямая должна проходить через точку $A(0; 1)$. Это значит, что если подставить координаты этой точки ($x=0$, $y=1$) в уравнение прямой, мы получим верное равенство. Это поможет нам найти коэффициент $b$.

а) Найдём уравнение прямой, параллельной прямой $y = x$.
1. Угловой коэффициент данной прямой $y = 1 \cdot x + 0$ равен $k=1$.
2. Так как искомая прямая параллельна данной, её угловой коэффициент также равен 1. Значит, её уравнение имеет вид $y = 1 \cdot x + b$, или $y = x + b$.
3. Теперь найдём коэффициент $b$. Подставим координаты точки $A(0; 1)$ в полученное уравнение:
$1 = 0 + b$
Отсюда получаем, что $b = 1$.
4. Подставляем найденное значение $b$ обратно в уравнение прямой.
Искомое уравнение: $y = x + 1$.

Ответ: $y = x + 1$

б) Найдём уравнение прямой, параллельной прямой $y = 2x$.
1. Угловой коэффициент данной прямой $y = 2x + 0$ равен $k=2$.
2. Угловой коэффициент искомой параллельной прямой также равен 2. Её уравнение имеет вид $y = 2x + b$.
3. Найдём коэффициент $b$, подставив координаты точки $A(0; 1)$ в это уравнение:
$1 = 2 \cdot 0 + b$
$1 = 0 + b$
Отсюда получаем, что $b = 1$.
4. Подставляем значение $b$ в уравнение.
Искомое уравнение: $y = 2x + 1$.

Ответ: $y = 2x + 1$

15. Прямая $a$ проходит через точки с координатами $(0; 4)$ и $(6; 0)$. Прямая $b$ проходит через точку с координатами $(0; 8)$ и параллельна прямой $a$. Найдите абсциссу точки пересечения прямой $b$ с осью $Ox$.

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов: найти уравнение прямой a, затем, используя свойство параллельности прямых, найти уравнение прямой b, и в конце определить абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

1. Нахождение уравнения прямой a.

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + m$, где k — угловой коэффициент, а m — ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

Прямая a проходит через точки с координатами A(0; 4) и B(6; 0). Точка A(0; 4) является точкой пересечения с осью Oy, поэтому для прямой a коэффициент $m_a = 4$.

Угловой коэффициент k можно найти по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, используя координаты двух точек:

$k_a = \frac{0 - 4}{6 - 0} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Таким образом, уравнение прямой a имеет вид: $y = -\frac{2}{3}x + 4$.

2. Нахождение уравнения прямой b.

Прямая b параллельна прямой a. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Следовательно, угловой коэффициент прямой b равен угловому коэффициенту прямой a:

$k_b = k_a = -\frac{2}{3}$

Также известно, что прямая b проходит через точку с координатами (0; 8). Эта точка является точкой пересечения прямой b с осью Oy, поэтому для прямой b коэффициент $m_b = 8$.

Итак, уравнение прямой b: $y = -\frac{2}{3}x + 8$.

3. Нахождение абсциссы точки пересечения прямой b с осью Ox.

Точка пересечения прямой с осью Ox (осью абсцисс) имеет ординату (координату y) равную нулю. Чтобы найти абсциссу этой точки, подставим $y = 0$ в уравнение прямой b:

$0 = -\frac{2}{3}x + 8$

Решим полученное уравнение относительно x:

$\frac{2}{3}x = 8$

Умножим обе части уравнения на 3:

$2x = 24$

Разделим обе части на 2:

$x = 12$

Таким образом, абсцисса точки пересечения прямой b с осью Ox равна 12.

Ответ: 12

16. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A(0; 1) и перпендикулярную прямой:

а) $y = x$;

б) $y = 2x$.

Общий вид уравнения прямой — это $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения с осью $OY$).Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ являются перпендикулярными, если произведение их угловых коэффициентов равно -1, то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Искомая прямая должна проходить через точку $A(0; 1)$. Поскольку абсцисса (координата $x$) этой точки равна нулю, это означает, что прямая пересекает ось ординат ($OY$) в точке $y=1$. Следовательно, свободный член $b$ для искомой прямой равен 1.Таким образом, уравнение искомой прямой в обоих случаях будет иметь вид $y = kx + 1$. Нам нужно лишь определить угловой коэффициент $k$ для каждого случая.

а) Найти уравнение прямой, проходящей через $A(0; 1)$ и перпендикулярной прямой $y = x$.

1. Угловой коэффициент данной прямой $y = x$ равен $k_1 = 1$.

2. Найдем угловой коэффициент $k_2$ искомой перпендикулярной прямой. Из условия перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$ имеем:$1 \cdot k_2 = -1$$k_2 = -1$

3. Подставим найденный угловой коэффициент $k_2 = -1$ и известный свободный член $b=1$ в общее уравнение прямой $y = kx + b$.Получаем уравнение: $y = -1 \cdot x + 1$.

Ответ: $y = -x + 1$

б) Найти уравнение прямой, проходящей через $A(0; 1)$ и перпендикулярной прямой $y = 2x$.

1. Угловой коэффициент данной прямой $y = 2x$ равен $k_1 = 2$.

2. Найдем угловой коэффициент $k_2$ искомой перпендикулярной прямой. Из условия перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$ имеем:$2 \cdot k_2 = -1$$k_2 = -\frac{1}{2}$

3. Подставим найденный угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$ и известный свободный член $b=1$ в общее уравнение прямой $y = kx + b$.Получаем уравнение: $y = -\frac{1}{2}x + 1$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + 1$

17. Предложите какой-нибудь способ аналитического задания:

а) полуплоскости;

б) выпуклого многоугольника.

а) В декартовой системе координат любая прямая задается общим уравнением $Ax + By + C = 0$, где коэффициенты $A$ и $B$ не равны нулю одновременно. Эта прямая разделяет всю плоскость на две области, которые называются полуплоскостями. Для всех точек $(x, y)$, лежащих по одну сторону от прямой, выражение $Ax + By + C$ будет иметь один и тот же знак (например, положительный), а для всех точек, лежащих по другую сторону, — противоположный знак (отрицательный). Точки, лежащие на самой прямой, удовлетворяют равенству $Ax + By + C = 0$.
Таким образом, полуплоскость — это множество точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют линейному неравенству. Если полуплоскость включает свою границу (прямую), она называется замкнутой и задается нестрогим неравенством: $Ax + By + C \ge 0$ или $Ax + By + C \le 0$. Если граница не включается, полуплоскость называется открытой и задается строгим неравенством: $Ax + By + C > 0$ или $Ax + By + C < 0$.
Ответ: Аналитически полуплоскость задается одним линейным неравенством вида $Ax + By + C \ge 0$ (или с другим знаком неравенства: $\le$, $>$, $<$).

б) Выпуклый многоугольник представляет собой область на плоскости, которая является пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей. Каждая сторона многоугольника лежит на некоторой прямой, которая является границей одной из этих полуплоскостей. Весь многоугольник при этом лежит в одной из двух полуплоскостей, определяемых этой прямой.
Пусть выпуклый $n$-угольник ограничен $n$ прямыми, которые задаются уравнениями $A_i x + B_i y + C_i = 0$ для $i = 1, 2, ..., n$. Для каждой такой прямой можно подобрать знаки коэффициентов $A_i, B_i, C_i$ таким образом, чтобы все точки многоугольника удовлетворяли одному и тому же типу неравенства, например, $A_i x + B_i y + C_i \le 0$.
Тогда точка $(x, y)$ принадлежит выпуклому многоугольнику (включая его границу) тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют системе всех этих $n$ линейных неравенств одновременно.
Ответ: Аналитически выпуклый многоугольник задается системой конечного числа линейных неравенств:$\begin{cases}A_1 x + B_1 y + C_1 \le 0 \\A_2 x + B_2 y + C_2 \le 0 \\\vdots \\A_n x + B_n y + C_n \le 0\end{cases}$, где $n$ — количество сторон многоугольника.