Страница 122 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Определите вид четырехугольника, если его вершины имеют координаты:

а) $A(-2; 0)$, $B(0; -2)$, $C(2; 0)$, $D(0; 2)$;

б) $A(-2; 1)$, $B(2; -1)$, $C(3; 1)$, $D(-1; 3)$;

в) $A(-2; 1)$, $B(2; 2)$, $C(1; 4)$, $D(-3; 3)$;

г) $A(-2; -1)$, $B(2; -1)$, $C(1; 2)$, $D(-1; 2).

а) Для определения вида четырехугольника $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2; 0)$, $B(0; -2)$, $C(2; 0)$, $D(0; 2)$ найдем длины его сторон. Длина отрезка между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
$AB = \sqrt{(0-(-2))^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$CD = \sqrt{(0-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$DA = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Так как все стороны равны ($AB=BC=CD=DA$), четырехугольник является ромбом. Чтобы проверить, является ли он квадратом, найдем длины его диагоналей $AC$ и $BD$.
$AC = \sqrt{(2-(-2))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.
$BD = \sqrt{(0-0)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$.
Поскольку диагонали ромба равны ($AC=BD$), этот ромб является квадратом.
Ответ: квадрат.

б) Рассмотрим четырехугольник с вершинами $A(-2; 1)$, $B(2; -1)$, $C(3; 1)$, $D(-1; 3)$. Найдем длины его сторон:
$AB = \sqrt{(2-(-2))^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$CD = \sqrt{(-1-3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$DA = \sqrt{(-1-(-2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Так как противолежащие стороны попарно равны ($AB=CD$ и $BC=DA$), четырехугольник является параллелограммом. Проверим, являются ли смежные стороны перпендикулярными. Для этого найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ и их скалярное произведение.
$\vec{AB} = \{2 - (-2); -1 - 1\} = \{4; -2\}$.
$\vec{BC} = \{3 - 2; 1 - (-1)\} = \{1; 2\}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = 4 - 4 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, $\angle B = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
Ответ: прямоугольник.

в) Рассмотрим четырехугольник с вершинами $A(-2; 1)$, $B(2; 2)$, $C(1; 4)$, $D(-3; 3)$. Найдем длины его сторон:
$AB = \sqrt{(2-(-2))^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
$BC = \sqrt{(1-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$CD = \sqrt{(-3-1)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
$DA = \sqrt{(-3-(-2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Так как противолежащие стороны попарно равны ($AB=CD$ и $BC=DA$), четырехугольник является параллелограммом. Проверим, перпендикулярны ли смежные стороны, найдя скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.
$\vec{AB} = \{2 - (-2); 2 - 1\} = \{4; 1\}$.
$\vec{BC} = \{1 - 2; 4 - 2\} = \{-1; 2\}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -4 + 2 = -2 \ne 0$.
Так как скалярное произведение не равно нулю, смежные стороны не перпендикулярны. Длины смежных сторон $AB=\sqrt{17}$ и $BC=\sqrt{5}$ не равны. Следовательно, это не прямоугольник и не ромб.
Ответ: параллелограмм.

г) Рассмотрим четырехугольник с вершинами $A(-2; -1)$, $B(2; -1)$, $C(1; 2)$, $D(-1; 2)$. Найдем угловые коэффициенты его сторон $k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
$k_{AB} = \frac{-1-(-1)}{2-(-2)} = \frac{0}{4} = 0$.
$k_{BC} = \frac{2-(-1)}{1-2} = \frac{3}{-1} = -3$.
$k_{CD} = \frac{2-2}{-1-1} = \frac{0}{-2} = 0$.
$k_{DA} = \frac{-1-2}{-2-(-1)} = \frac{-3}{-1} = 3$.
Так как $k_{AB} = k_{CD} = 0$, стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Так как $k_{BC} \ne k_{DA}$, стороны $BC$ и $DA$ не параллельны. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет, является трапецией. Проверим, является ли трапеция равнобедренной, найдя длины ее непараллельных сторон $BC$ и $DA$.
$BC = \sqrt{(1-2)^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.
$DA = \sqrt{(-2-(-1))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.
Так как длины непараллельных сторон равны ($BC=DA$), трапеция является равнобедренной.
Ответ: равнобедренная трапеция.

10. Найдите уравнение окружности с центром в точке $C(1; 2)$, касающейся оси абсцисс.

Общее уравнение окружности с центром в точке $C(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Из условия задачи нам известны координаты центра окружности — точка $C(1; 2)$. Таким образом, $x_0 = 1$ и $y_0 = 2$.

Подставим эти значения в общее уравнение окружности:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = R^2$

Далее, по условию, окружность касается оси абсцисс. Ось абсцисс — это горизонтальная ось $Ox$, все точки которой имеют ординату, равную нулю ($y = 0$).

Радиус окружности, касающейся оси, равен расстоянию от центра окружности до этой оси. В данном случае расстояние от центра $C(1; 2)$ до оси абсцисс ($y=0$) равно модулю ординаты центра, то есть $|y_0|$.

Вычислим радиус:

$R = |y_0| = |2| = 2$

Теперь у нас есть все необходимые данные для составления уравнения окружности. Подставим значение радиуса $R = 2$ в полученное ранее выражение:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

11. Составьте уравнение окружности с центром в точке C$(-3; 4)$, проходящей через начало координат.

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Согласно условию, центр окружности находится в точке C(−3; 4). Следовательно, $a = -3$ и $b = 4$. Подставив эти значения в общее уравнение, получим:
$(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = R^2$
$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = R^2$

Окружность проходит через начало координат, точку O(0; 0). Радиус $R$ окружности — это расстояние от ее центра C до любой точки на окружности, в данном случае до точки O. Квадрат радиуса $R^2$ можно найти, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками C(−3; 4) и O(0; 0).
$R^2 = (x_O - x_C)^2 + (y_O - y_C)^2$
$R^2 = (0 - (-3))^2 + (0 - 4)^2$
$R^2 = 3^2 + (-4)^2$
$R^2 = 9 + 16$
$R^2 = 25$

Подставим найденное значение $R^2 = 25$ в уравнение окружности, полученное на первом шаге:
$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

12. Каким неравенством задается геометрическое место точек, не при- надлежащих кругу с центром в точке $C(x_0; y_0)$ и радиусом $R$?

Для того чтобы определить неравенство, задающее геометрическое место точек, не принадлежащих кругу, сперва необходимо вспомнить определение самого круга и соответствующее ему неравенство.

Круг с центром в точке $C(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ представляет собой множество всех точек $M(x; y)$ на плоскости, расстояние от которых до центра $C$ не превышает радиус $R$. Расстояние $d$ между точкой $M(x; y)$ и центром $C(x_0; y_0)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$.

Таким образом, условие, что точка $M(x; y)$ принадлежит кругу, записывается в виде неравенства: $d \le R$ или $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \le R$.

Поскольку обе части неравенства являются неотрицательными величинами, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства. В результате получаем стандартное неравенство, задающее круг (включая его границу — окружность): $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2$.

Теперь рассмотрим искомое геометрическое место точек, которые не принадлежат данному кругу. Это все точки, которые находятся за пределами круга. Для любой такой точки расстояние от нее до центра $C$ должно быть строго больше, чем радиус $R$.

Это условие можно записать в виде строгого неравенства: $d > R$ или $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} > R$.

Снова возведем обе неотрицательные части неравенства в квадрат, чтобы получить окончательную форму: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 > R^2$.

Это неравенство и описывает все точки плоскости, которые находятся вне круга с центром в точке $C(x_0; y_0)$ и радиусом $R$.

Ответ: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 > R^2$.

13. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек:

a) $A(1; 2)$, $B(3; 2);$

б) $A(1; 2)$, $B(2; 3).$

а) Пусть искомая точка $M$ лежит на оси абсцисс (оси $Ox$), следовательно, ее ордината равна нулю, а координаты имеют вид $(x; 0)$.
По условию, точка $M$ равноудалена от точек $A(1; 2)$ и $B(3; 2)$. Это означает, что расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до $B$: $MA = MB$.
Чтобы избежать работы с квадратными корнями в формуле расстояния, возведем обе части равенства в квадрат: $MA^2 = MB^2$.
Формула квадрата расстояния между точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Найдем квадрат расстояния $MA^2$ между точками $M(x; 0)$ и $A(1; 2)$:
$MA^2 = (x - 1)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 1)^2 + (-2)^2 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5$.
Найдем квадрат расстояния $MB^2$ между точками $M(x; 0)$ и $B(3; 2)$:
$MB^2 = (x - 3)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 3)^2 + (-2)^2 = x^2 - 6x + 9 + 4 = x^2 - 6x + 13$.
Теперь составим уравнение, приравняв полученные выражения для квадратов расстояний:
$x^2 - 2x + 5 = x^2 - 6x + 13$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-2x + 5 = -6x + 13$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$6x - 2x = 13 - 5$.
$4x = 8$.
$x = \frac{8}{4} = 2$.
Таким образом, абсцисса искомой точки равна 2. Координаты точки: $(2; 0)$.
Ответ: $(2; 0)$.

б) Аналогично, ищем точку $M(x; 0)$ на оси абсцисс, равноудаленную от точек $A(1; 2)$ и $B(2; 3)$.
Условие равноудаленности в виде квадратов расстояний: $MA^2 = MB^2$.
Найдем квадрат расстояния $MA^2$ между точками $M(x; 0)$ и $A(1; 2)$:
$MA^2 = (x - 1)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 1)^2 + (-2)^2 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5$.
Найдем квадрат расстояния $MB^2$ между точками $M(x; 0)$ и $B(2; 3)$:
$MB^2 = (x - 2)^2 + (0 - 3)^2 = (x - 2)^2 + (-3)^2 = x^2 - 4x + 4 + 9 = x^2 - 4x + 13$.
Приравняем полученные выражения:
$x^2 - 2x + 5 = x^2 - 4x + 13$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-2x + 5 = -4x + 13$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4x - 2x = 13 - 5$.
$2x = 8$.
$x = \frac{8}{2} = 4$.
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(4; 0)$.
Ответ: $(4; 0)$.

14. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек:

а) $A(2; 2)$, $B(2; 4);$

б) $A(1; 5)$, $B(3; 1).$

Чтобы найти точку на оси ординат (оси OY), равноудаленную от двух других точек, нужно учесть, что любая точка на оси ординат имеет координату x, равную нулю. Обозначим искомую точку как M(0; y).

Условие равноудаленности точки M от точек A и B означает, что расстояние AM равно расстоянию BM. Математически это записывается как $AM = BM$. Чтобы избежать работы с квадратными корнями, удобнее использовать равенство квадратов расстояний: $AM^2 = BM^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

а) Даны точки A(2; 2) и B(2; 4). Искомая точка M(0; y).

Найдем квадраты расстояний AM и BM:
$AM^2 = (2 - 0)^2 + (2 - y)^2 = 2^2 + (2 - y)^2 = 4 + 4 - 4y + y^2 = 8 - 4y + y^2$.
$BM^2 = (2 - 0)^2 + (4 - y)^2 = 2^2 + (4 - y)^2 = 4 + 16 - 8y + y^2 = 20 - 8y + y^2$.

Приравняем квадраты расстояний:
$AM^2 = BM^2$
$8 - 4y + y^2 = 20 - 8y + y^2$

Упростим уравнение, убрав $y^2$ из обеих частей:
$8 - 4y = 20 - 8y$
Перенесем члены с y в левую часть, а свободные члены — в правую:
$8y - 4y = 20 - 8$
$4y = 12$
$y = 3$

Таким образом, искомая точка имеет координаты (0; 3).
Ответ: (0; 3).

б) Даны точки A(1; 5) и B(3; 1). Искомая точка M(0; y).

Найдем квадраты расстояний AM и BM:
$AM^2 = (1 - 0)^2 + (5 - y)^2 = 1^2 + (5 - y)^2 = 1 + 25 - 10y + y^2 = 26 - 10y + y^2$.
$BM^2 = (3 - 0)^2 + (1 - y)^2 = 3^2 + (1 - y)^2 = 9 + 1 - 2y + y^2 = 10 - 2y + y^2$.

Приравняем квадраты расстояний:
$AM^2 = BM^2$
$26 - 10y + y^2 = 10 - 2y + y^2$

Упростим уравнение, убрав $y^2$ из обеих частей:
$26 - 10y = 10 - 2y$
Перенесем члены с y в правую часть, а свободные члены — в левую:
$26 - 10 = 10y - 2y$
$16 = 8y$
$y = 2$

Таким образом, искомая точка имеет координаты (0; 2).
Ответ: (0; 2).

15. Найдите точку, равноудаленную от точек:

a) $O(0; 0)$, $B(2; 0)$, $C(0; 2)$;

б) $A(0; 2)$, $B(-1; 1)$, $C(1; 1)$.

а) Пусть искомая точка, равноудаленная от точек $O(0; 0)$, $B(2; 0)$ и $C(0; 2)$, имеет координаты $P(x; y)$. Условие равноудаленности означает, что расстояния от точки $P$ до точек $O$, $B$ и $C$ равны: $PO = PB = PC$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $PO^2 = PB^2 = PC^2$.
Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Выразим квадраты расстояний до каждой из точек:
$PO^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
$PB^2 = (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2$
$PC^2 = (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$
Теперь составим и решим систему уравнений.
1. Приравняем $PO^2$ и $PB^2$:
$x^2 + y^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2$
$0 = -4x + 4$
$4x = 4$
$x = 1$
2. Приравняем $PO^2$ и $PC^2$:
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$
$0 = -4y + 4$
$4y = 4$
$y = 1$
Таким образом, искомая точка имеет координаты $(1; 1)$.
Ответ: $(1; 1)$.

б) Пусть искомая точка, равноудаленная от точек $A(0; 2)$, $B(-1; 1)$ и $C(1; 1)$, имеет координаты $P(x; y)$. Условие равноудаленности: $PA = PB = PC$, или в квадратах: $PA^2 = PB^2 = PC^2$.
Выразим квадраты расстояний до каждой из точек:
$PA^2 = (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$
$PB^2 = (x - (-1))^2 + (y - 1)^2 = (x+1)^2 + (y-1)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + y^2 - 2y + 2$
$PC^2 = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + y^2 - 2y + 2$
Теперь составим и решим систему уравнений.
1. Приравняем $PB^2$ и $PC^2$ (это упростит вычисления, так как их выражения похожи):
$x^2 + 2x + y^2 - 2y + 2 = x^2 - 2x + y^2 - 2y + 2$
$2x = -2x$
$4x = 0$
$x = 0$
2. Теперь приравняем $PA^2$ и $PB^2$, подставив найденное значение $x=0$:
$(0)^2 + y^2 - 4y + 4 = (0)^2 + 2(0) + y^2 - 2y + 2$
$y^2 - 4y + 4 = y^2 - 2y + 2$
$-4y + 4 = -2y + 2$
$4 - 2 = -2y + 4y$
$2 = 2y$
$y = 1$
Таким образом, искомая точка имеет координаты $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

16. Докажите, что уравнение:
a) $x^2 - 4x + y^2 = 0$;
б) $x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$ задает окружность. Найдите ее радиус и координаты центра.

а)

Чтобы доказать, что уравнение $x^2 - 4x + y^2 = 0$ задает окружность, необходимо привести его к каноническому виду $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, где $(h, k)$ — это координаты центра окружности, а $r$ — ее радиус. Для этого используется метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем члены, содержащие переменную $x$:

$(x^2 - 4x) + y^2 = 0$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $2ab = 4x$, откуда $b=2$. Следовательно, нам нужно добавить $b^2=2^2=4$. Чтобы уравнение осталось верным, мы должны добавить и вычесть 4 (или добавить 4 к обеим частям уравнения):

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$

Теперь свернем полный квадрат и перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

Полученное уравнение можно представить в стандартном виде:

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

Это и есть каноническое уравнение окружности. Сравнивая его с общей формулой $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, мы можем определить параметры окружности:

Координаты центра: $(h, k) = (2, 0)$.

Радиус: $r = 2$.

Поскольку уравнение удалось привести к каноническому виду окружности с действительным положительным радиусом ($r=2 > 0$), доказано, что оно задает окружность.

Ответ: Уравнение задает окружность с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $r=2$.

б)

Рассмотрим уравнение $x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$. Приведем его к каноническому виду, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем члены с $x$ и члены с $y$, а свободный член перенесем в правую часть уравнения:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) = -4$

Теперь дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата, прибавив необходимые числа к обеим частям уравнения.

Для выражения $(x^2 + 2x)$, чтобы получить полный квадрат $(x+1)^2 = x^2+2x+1$, нужно добавить $(\frac{2}{2})^2 = 1$.

Для выражения $(y^2 - 4y)$, чтобы получить полный квадрат $(y-2)^2 = y^2-4y+4$, нужно добавить $(\frac{-4}{2})^2 = 4$.

Прибавим 1 и 4 к обеим частям уравнения:

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = -4 + 1 + 4$

Свернем полные квадраты в левой части и вычислим значение в правой части:

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$

Запишем уравнение в стандартном виде, чтобы явно видеть координаты центра и радиус:

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 1^2$

Это каноническое уравнение окружности. Из сравнения с общей формулой $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ находим:

Координаты центра: $(h, k) = (-1, 2)$.

Радиус: $r = 1$.

Уравнение успешно приведено к каноническому виду окружности с положительным радиусом ($r=1 > 0$), следовательно, оно задает окружность.

Ответ: Уравнение задает окружность с центром в точке $(-1, 2)$ и радиусом $r=1$.

17. Точка $A(0; \sqrt{2})$ принадлежит окружности с центром $C(3; 0)$. Напишите уравнение этой окружности.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(h; k)$ и радиусом $r$ имеет вид:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Из условия задачи известно, что центр окружности находится в точке $C(3; 0)$. Следовательно, координаты центра $h = 3$ и $k = 0$. Подставим эти значения в общее уравнение окружности:

$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = r^2$

$(x - 3)^2 + y^2 = r^2$

Также известно, что точка $A(0; \sqrt{2})$ принадлежит этой окружности. Это значит, что ее координаты удовлетворяют уравнению окружности. Мы можем использовать это, чтобы найти радиус $r$. Подставим координаты точки $A$ (где $x=0$ и $y=\sqrt{2}$) в полученное уравнение:

$(0 - 3)^2 + (\sqrt{2})^2 = r^2$

Вычислим левую часть уравнения, чтобы найти $r^2$:

$(-3)^2 + 2 = r^2$

$9 + 2 = r^2$

$r^2 = 11$

Теперь, зная $r^2$, мы можем записать окончательное уравнение окружности, подставив это значение обратно:

$(x - 3)^2 + y^2 = 11$

Ответ: $(x - 3)^2 + y^2 = 11$

18. Даны точки $A(2; 0)$, $B(-2; 6)$. Найдите уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $AB$.

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Поскольку отрезок AB является диаметром окружности, её центр O находится в середине этого отрезка. Найдем координаты центра O, который является серединой отрезка с концами в точках A(2; 0) и B(-2; 6).

Координаты центра вычисляются по формулам:$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, центр окружности находится в точке O(0; 3).

Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра O до любой точки на окружности, например, до точки A. Для составления уравнения нам нужен квадрат радиуса $R^2$. Найдем его как квадрат расстояния между точками O(0; 3) и A(2; 0):

$R^2 = (x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2 = (2 - 0)^2 + (0 - 3)^2 = 2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$

Теперь подставим найденные координаты центра O(0; 3) и значение $R^2 = 13$ в общее уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 13$

Упрощая, получаем итоговое уравнение:

$x^2 + (y - 3)^2 = 13$

Ответ: $x^2 + (y - 3)^2 = 13$

19. Выясните, как расположены относительно друг друга окружность, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 1$, и окружность, заданная уравнением:

а) $x^2 + 6x + y^2 - 8y - 11 = 0$;

б) $x^2 + 6x + y^2 - 8y = 0$;

в) $x^2 + 6x + y^2 - 8y + 9 = 0$;

г) $x^2 + 6x + y^2 - 8y + 16 = 0$.

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо найти их центры и радиусы, а затем сравнить расстояние между центрами с суммой и разностью их радиусов.

Первая окружность задана уравнением $x^2 + y^2 = 1$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $O_1(0, 0)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{1} = 1$.

Рассмотрим каждую из четырех заданных окружностей.

а) $x^2 + 6x + y^2 - 8y - 11 = 0$

1. Приведем уравнение второй окружности к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ путем выделения полных квадратов:

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 8y) - 11 = 0$

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2) - 4^2 - 11 = 0$

$(x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 - 11 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 36$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 6^2$

Центр второй окружности $O_2(-3, 4)$, ее радиус $R_2 = 6$.

2. Найдем расстояние $d$ между центрами окружностей $O_1(0, 0)$ и $O_2(-3, 4)$:

$d = \sqrt{(-3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

3. Сравним расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов:

$R_1 = 1$, $R_2 = 6$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 6 = 7$.

Модуль разности радиусов: $|R_2 - R_1| = |6 - 1| = 5$.

Так как расстояние между центрами $d = 5$ равно разности радиусов $|R_2 - R_1|$, окружности касаются внутренним образом.

Ответ: окружности касаются внутренним образом.

б) $x^2 + 6x + y^2 - 8y = 0$

1. Приведем уравнение второй окружности к каноническому виду:

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 8y + 16) - 16 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 5^2$

Центр второй окружности $O_2(-3, 4)$, ее радиус $R_2 = 5$.

2. Расстояние между центрами $O_1(0, 0)$ и $O_2(-3, 4)$ такое же, как в предыдущем пункте: $d=5$.

3. Сравним расстояние с радиусами:

$R_1 = 1$, $R_2 = 5$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 5 = 6$.

Модуль разности радиусов: $|R_2 - R_1| = |5 - 1| = 4$.

Поскольку выполняется неравенство $|R_2 - R_1| < d < R_1 + R_2$ (то есть $4 < 5 < 6$), окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: окружности пересекаются в двух точках.

в) $x^2 + 6x + y^2 - 8y + 9 = 0$

1. Приведем уравнение второй окружности к каноническому виду:

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 9 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$

Центр второй окружности $O_2(-3, 4)$, ее радиус $R_2 = 4$.

2. Расстояние между центрами $O_1(0, 0)$ и $O_2(-3, 4)$ равно $d=5$.

3. Сравним расстояние с радиусами:

$R_1 = 1$, $R_2 = 4$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 4 = 5$.

Модуль разности радиусов: $|R_2 - R_1| = |4 - 1| = 3$.

Так как расстояние между центрами $d = 5$ равно сумме радиусов $R_1 + R_2$, окружности касаются внешним образом.

Ответ: окружности касаются внешним образом.

г) $x^2 + 6x + y^2 - 8y + 16 = 0$

1. Приведем уравнение второй окружности к каноническому виду:

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 16 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 9$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 3^2$

Центр второй окружности $O_2(-3, 4)$, ее радиус $R_2 = 3$.

2. Расстояние между центрами $O_1(0, 0)$ и $O_2(-3, 4)$ равно $d=5$.

3. Сравним расстояние с радиусами:

$R_1 = 1$, $R_2 = 3$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 3 = 4$.

Модуль разности радиусов: $|R_2 - R_1| = |3 - 1| = 2$.

Так как расстояние между центрами $d = 5$ больше суммы радиусов $R_1 + R_2 = 4$, окружности не пересекаются и расположены одна вне другой.

Ответ: окружности не пересекаются.

20. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(1; 1)$, и:

a) параллельную оси абсцисс;

б) параллельную оси ординат;

в) через начало координат.

а) Прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), является горизонтальной. Уравнение любой горизонтальной прямой имеет общий вид $y = c$, где $c$ — это константа, равная ординате любой точки на этой прямой. Поскольку искомая прямая проходит через точку A(1; 1), все ее точки должны иметь ординату $y = 1$. Таким образом, уравнение этой прямой: $y=1$.
Ответ: $y = 1$

б) Прямая, параллельная оси ординат (оси Oy), является вертикальной. Уравнение любой вертикальной прямой имеет общий вид $x = c$, где $c$ — это константа, равная абсциссе любой точки на этой прямой. Поскольку искомая прямая проходит через точку A(1; 1), все ее точки должны иметь абсциссу $x = 1$. Таким образом, уравнение этой прямой: $x=1$.
Ответ: $x = 1$

в) Искомая прямая проходит через две точки: заданную точку A(1; 1) и начало координат O(0; 0). Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. Подставим координаты точек A и O:
$\frac{x - 0}{1 - 0} = \frac{y - 0}{1 - 0}$
$\frac{x}{1} = \frac{y}{1}$
Отсюда получаем уравнение $y=x$.
Другой способ — использовать уравнение прямой с угловым коэффициентом $y = kx + b$. Так как прямая проходит через начало координат O(0; 0), подставив эти значения, получим $0 = k \cdot 0 + b$, откуда $b=0$. Уравнение принимает вид $y=kx$. Теперь подставим координаты точки A(1; 1): $1 = k \cdot 1$, откуда угловой коэффициент $k=1$. Итоговое уравнение: $y=x$.
Ответ: $y = x$