Страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как задается полуплоскость?

2. Как задается выпуклый многоугольник?

1. Как задается полуплоскость?
Полуплоскость — это часть плоскости, расположенная по одну сторону от некоторой прямой, лежащей в этой плоскости. Эта прямая называется границей полуплоскости.
В декартовой системе координат любая прямая задается линейным уравнением $ax + by + c = 0$, где коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Все точки $(x, y)$, не лежащие на этой прямой, удовлетворяют одному из двух строгих неравенств: $ax + by + c > 0$ или $ax + by + c < 0$. Каждое из этих неравенств задает открытую полуплоскость (то есть полуплоскость без ее границы).
Если к точкам открытой полуплоскости добавить точки самой граничной прямой, получится замкнутая полуплоскость. Она задается нестрогим линейным неравенством: $ax + by + c \ge 0$ или $ax + by + c \le 0$.
Таким образом, для задания полуплоскости необходимо определить ее граничную прямую и указать, какую из двух частей плоскости она включает.
Ответ: Полуплоскость задается прямой (ее границей) и выбором одной из двух областей, на которые эта прямая делит плоскость. Аналитически, в системе координат, полуплоскость задается одним линейным неравенством с двумя переменными, например, $ax + by + c \ge 0$.

2. Как задается выпуклый многоугольник?
Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который обладает свойством выпуклости: он целиком лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через любую из его сторон. Эквивалентное определение: отрезок, соединяющий любые две точки внутри многоугольника, полностью содержится в этом многоугольнике.
С точки зрения геометрии, выпуклый многоугольник можно определить как пересечение конечного числа замкнутых полуплоскостей. Каждая сторона многоугольника лежит на границе одной из этих полуплоскостей, а сам многоугольник находится внутри каждой из них.
В аналитической геометрии выпуклый n-угольник задается системой из $n$ линейных неравенств. Если прямые, на которых лежат стороны многоугольника, заданы уравнениями $a_i x + b_i y + c_i = 0$ для $i=1, \dots, n$, то множество точек $(x, y)$, принадлежащих многоугольнику, является решением системы неравенств:
$\begin{cases}a_1 x + b_1 y + c_1 \ge 0 \\a_2 x + b_2 y + c_2 \ge 0 \\\vdots \\a_n x + b_n y + c_n \ge 0\end{cases}$
Знаки неравенств $(\ge)$ подобраны так, чтобы выделить внутреннюю область многоугольника относительно каждой из его сторон.
Ответ: Выпуклый многоугольник задается как пересечение конечного числа полуплоскостей. В координатной форме это соответствует системе линейных неравенств.

1. Укажите геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

а) $x > 0, y > 0;$

б) $x < 0, y > 0;$

в) $x > 0, y < 0;$

г) $x < 0, y < 0.$

а) Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам $x > 0$ и $y > 0$, представляет собой множество всех точек, лежащих в первой координатной четверти. Неравенство $x > 0$ задает все точки, расположенные справа от вертикальной оси OY (оси ординат). Неравенство $y > 0$ задает все точки, расположенные выше горизонтальной оси OX (оси абсцисс). Пересечением этих двух множеств является внутренняя область первой координатной четверти (I квадранта). Так как неравенства строгие, точки, лежащие на осях координат, в это множество не входят.
Ответ: Внутренняя область I координатной четверти.

б) Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам $x < 0$ и $y > 0$, представляет собой множество всех точек, лежащих во второй координатной четверти. Неравенство $x < 0$ задает все точки, расположенные слева от оси OY. Неравенство $y > 0$ задает все точки, расположенные выше оси OX. Пересечением этих двух множеств является внутренняя область второй координатной четверти (II квадранта). Оси координат не включаются в эту область.
Ответ: Внутренняя область II координатной четверти.

в) Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам $x > 0$ и $y < 0$, представляет собой множество всех точек, лежащих в четвертой координатной четверти. Неравенство $x > 0$ задает все точки, расположенные справа от оси OY. Неравенство $y < 0$ задает все точки, расположенные ниже оси OX. Пересечением этих двух множеств является внутренняя область четвертой координатной четверти (IV квадранта). Оси координат не включаются в эту область.
Ответ: Внутренняя область IV координатной четверти.

г) Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам $x < 0$ и $y < 0$, представляет собой множество всех точек, лежащих в третьей координатной четверти. Неравенство $x < 0$ задает все точки, расположенные слева от оси OY. Неравенство $y < 0$ задает все точки, расположенные ниже оси OX. Пересечением этих двух множеств является внутренняя область третьей координатной четверти (III квадранта). Оси координат не включаются в эту область.
Ответ: Внутренняя область III координатной четверти.

2. Изобразите геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

a) $0 \le x \le 3, 0 \le y \le 3;$

б) $x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 3.$

а)

Система неравенств $0 \le x \le 3$ и $0 \le y \le 3$ задает на координатной плоскости замкнутую область. Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

Неравенство $0 \le x \le 3$ означает, что абсцисса $x$ любой точки искомого множества должна быть не меньше 0 и не больше 3. Геометрически это вертикальная полоса, ограниченная прямыми $x=0$ (ось OY) и $x=3$. Так как неравенства нестрогие, то сами прямые входят в эту область.

Аналогично, неравенство $0 \le y \le 3$ означает, что ордината $y$ любой точки должна быть не меньше 0 и не больше 3. Геометрически это горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y=0$ (ось OX) и $y=3$. Сами прямые также входят в эту область.

Геометрическое место точек, удовлетворяющих обоим условиям, является пересечением этих двух полос. Пересечение вертикальной и горизонтальной полос образует прямоугольник. В данном случае, так как ширина и высота полос одинаковы (равны 3), это будет квадрат. Вершины этого квадрата находятся в точках пересечения граничных прямых: $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(3, 3)$ и $(0, 3)$. Изображением данного множества является квадрат, включая его стороны и внутреннюю область.

Ответ: Квадрат с вершинами в точках (0, 0), (3, 0), (3, 3), (0, 3).

б)

Система неравенств $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $x + y \le 3$ также задает на координатной плоскости замкнутую область.

Неравенства $x \ge 0$ и $y \ge 0$ вместе определяют первый координатный квадрант, включая его границы — положительные части осей OX и OY.

Рассмотрим третье неравенство $x + y \le 3$. Оно задает полуплоскость. Чтобы определить, какую именно, сначала построим граничную прямую $x + y = 3$. Эту прямую можно записать как $y = -x + 3$. Она проходит через точки $(0, 3)$ (пересечение с осью OY) и $(3, 0)$ (пересечение с осью OX).

Чтобы определить, какую полуплоскость задает неравенство $x + y \le 3$, возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее координаты в неравенство: $0 + 0 \le 3$, что является верным ($0 \le 3$). Следовательно, искомая полуплоскость содержит начало координат, то есть это область, расположенная ниже и на самой прямой $x + y = 3$.

Геометрическое место точек, удовлетворяющих всем трем неравенствам, является пересечением первого координатного квадранта и полуплоскости $x + y \le 3$. Это пересечение представляет собой треугольник, ограниченный осями координат (прямыми $x=0$ и $y=0$) и прямой $x+y=3$. Вершины этого треугольника находятся в точках пересечения граничных прямых: $(0, 0)$, $(3, 0)$ и $(0, 3)$. Так как все неравенства нестрогие, границы треугольника (его стороны) входят в искомое множество.

Ответ: Прямоугольный треугольник с вершинами в точках (0, 0), (3, 0) и (0, 3).

3. Две полуплоскости задаются неравенствами: $a_1 x + b_1 y + c_1 \ge 0, a_2 x + b_2 y + c_2 \ge 0.$

Как будет задаваться пересечение этих полуплоскостей?

Каждое из неравенств, $a_1x + b_1y + c_1 \ge 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 \ge 0$, задает на координатной плоскости множество точек, называемое замкнутой полуплоскостью. Границей каждой такой полуплоскости является прямая, уравнение которой получается заменой знака неравенства на знак равенства (например, $a_1x + b_1y + c_1 = 0$).

Пересечение двух множеств — это новое множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат каждому из исходных множеств одновременно. В данном случае, мы ищем пересечение двух полуплоскостей. Это означает, что нам нужно найти все точки $(x, y)$, которые принадлежат как первой полуплоскости, так и второй.

Для того чтобы точка с координатами $(x, y)$ принадлежала пересечению, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли обоим неравенствам одновременно. В математике требование одновременного выполнения нескольких условий записывается в виде системы.

Геометрически такое пересечение может образовывать различные фигуры (например, угол, полосу, другую полуплоскость или быть пустым множеством), но аналитически оно всегда задается системой исходных неравенств.

Ответ: Пересечение этих полуплоскостей задается системой неравенств, так как точки, принадлежащие пересечению, должны удовлетворять обоим условиям одновременно:
$ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 \ge 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 \ge 0 \end{cases} $

4. Нарисуйте многоугольник, координаты точек которого удовлетворяют неравенствам:

$\begin{cases} 0 \le x \le 4, \\ 0 \le y \le 4, \\ x + y \ge 4. \end{cases}$

Для построения многоугольника, заданного системой неравенств, необходимо найти на координатной плоскости область, которая удовлетворяет всем трем условиям одновременно. Рассмотрим каждый шаг.

1. Неравенства $0 \le x \le 4$ и $0 \le y \le 4$ определяют замкнутую область. Первое неравенство, $0 \le x \le 4$, задает все точки, находящиеся между вертикальными прямыми $x=0$ (ось OY) и $x=4$ или на них. Второе неравенство, $0 \le y \le 4$, задает все точки между горизонтальными прямыми $y=0$ (ось OX) и $y=4$ или на них. Совместное выполнение этих двух условий определяет квадрат с вершинами в точках (0, 0), (4, 0), (4, 4) и (0, 4).

2. Третье неравенство — $x + y \ge 4$. Оно определяет полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая $x + y = 4$. Эту прямую можно также записать как $y = 4 - x$. Она проходит через точки (4, 0) и (0, 4). Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является решением, можно использовать пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат (0, 0). Подставим ее координаты в неравенство: $0 + 0 \ge 4$, что является ложным утверждением ($0 \ge 4$ — неверно). Следовательно, нам нужна та полуплоскость, которая не содержит начало координат, то есть область, расположенная над и справа от прямой $x + y = 4$.

3. Искомый многоугольник является пересечением квадрата из первого пункта и полуплоскости из второго. Прямая $x + y = 4$ проходит через две вершины квадрата — (4, 0) и (0, 4) — и отсекает от него треугольную область с вершинами (0, 0), (4, 0) и (0, 4). Точки внутри этого отсеченного треугольника не удовлетворяют неравенству $x + y \ge 4$. Оставшаяся часть квадрата и есть искомая фигура.

Таким образом, многоугольник представляет собой треугольник. Его вершины — это две вершины квадрата, лежащие на прямой $x+y=4$, и третья вершина квадрата, удовлетворяющая неравенству $x+y \ge 4$. Это точки (0, 4), (4, 0) и (4, 4). Чтобы нарисовать фигуру, достаточно отметить эти три точки на координатной плоскости и соединить их отрезками. Полученный треугольник и будет решением.

Ответ: Искомый многоугольник — это треугольник с вершинами в точках с координатами (0, 4), (4, 0) и (4, 4).

5. Изобразите фигуру, координаты которых удовлетворяют неравенству $|x|+|y| \le 3$.

Для того, чтобы изобразить фигуру, заданную неравенством $|x| + |y| \le 3$, необходимо рассмотреть это неравенство в каждой из четырех координатных четвертей, раскрывая знаки модуля в зависимости от знаков переменных $x$ и $y$.

1. Первая координатная четверть: $x \ge 0, y \ge 0$

В этой области $|x| = x$ и $|y| = y$. Неравенство принимает вид: $x + y \le 3$. Это область, расположенная ниже или на прямой $y = -x + 3$. В первой четверти это будет треугольник, ограниченный осями координат ($x=0$, $y=0$) и отрезком прямой $x + y = 3$, соединяющим точки $(3, 0)$ и $(0, 3)$. Вершины этого треугольника: $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(0, 3)$.

2. Вторая координатная четверть: $x < 0, y \ge 0$

В этой области $|x| = -x$ и $|y| = y$. Неравенство принимает вид: $-x + y \le 3$. Это область, расположенная ниже или на прямой $y = x + 3$. Во второй четверти это будет треугольник, ограниченный осями координат и отрезком прямой $-x + y = 3$, соединяющим точки $(-3, 0)$ и $(0, 3)$. Вершины этого треугольника: $(0, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$.

3. Третья координатная четверть: $x < 0, y < 0$

В этой области $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Неравенство принимает вид: $-x - y \le 3$, что эквивалентно $x + y \ge -3$. Это область, расположенная выше или на прямой $y = -x - 3$. В третьей четверти это будет треугольник, ограниченный осями координат и отрезком прямой $x + y = -3$, соединяющим точки $(-3, 0)$ и $(0, -3)$. Вершины этого треугольника: $(0, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, -3)$.

4. Четвертая координатная четверть: $x \ge 0, y < 0$

В этой области $|x| = x$ и $|y| = -y$. Неравенство принимает вид: $x - y \le 3$. Это область, расположенная выше или на прямой $y = x - 3$. В четвертой четверти это будет треугольник, ограниченный осями координат и отрезком прямой $x - y = 3$, соединяющим точки $(3, 0)$ и $(0, -3)$. Вершины этого треугольника: $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(0, -3)$.

Объединив все четыре полученных треугольника, мы получаем фигуру, представляющую собой квадрат, диагонали которого лежат на осях координат. Вершины этого квадрата находятся в точках пересечения граничных прямых с осями координат.

Вершины фигуры: $(3, 0)$, $(0, 3)$, $(-3, 0)$ и $(0, -3)$.

Так как неравенство является нестрогим ($\le$), искомая фигура включает в себя как все точки внутри этого квадрата, так и точки на его границе.

Ответ: Фигура, координаты которой удовлетворяют неравенству $|x| + |y| \le 3$, представляет собой квадрат с вершинами в точках $(3, 0)$, $(0, 3)$, $(-3, 0)$ и $(0, -3)$. Решением является область внутри этого квадрата вместе с его границами.

6. Напишите неравенства, которым удовлетворяют координаты точек фигур, изображенных на рисунке 28.5.

а)

$ -2 \le x \le 2 $

$ -1 \le y \le 1 $

б)

$ 0 \le y \le 2 - |x| $

Рис. 28.5

а)

Фигура, изображенная на рисунке а), представляет собой прямоугольник. Чтобы описать эту фигуру с помощью неравенств, необходимо определить границы для координат x и y всех точек, принадлежащих этой фигуре, включая ее контур.
1. По оси абсцисс (оси x) фигура расположена в пределах от $x = -2$ до $x = 2$. Поскольку границы (вертикальные стороны прямоугольника) включены, координата x любой точки фигуры удовлетворяет двойному неравенству:
$-2 \le x \le 2$.
Это неравенство также можно записать с использованием модуля: $|x| \le 2$.
2. По оси ординат (оси y) фигура расположена в пределах от $y = -1$ до $y = 1$. Горизонтальные стороны прямоугольника также включены, поэтому координата y любой точки фигуры удовлетворяет двойному неравенству:
$-1 \le y \le 1$.
Это неравенство также можно записать как $|y| \le 1$.
Так как оба условия должны выполняться одновременно для любой точки фигуры, мы объединяем их в систему неравенств.

Ответ: $\begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases}$ или $\begin{cases} |x| \le 2 \\ |y| \le 1 \end{cases}$.

б)

Фигура, изображенная на рисунке б), представляет собой треугольник с вершинами в точках $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 2)$.
1. Нижняя граница треугольника лежит на оси абсцисс, то есть на прямой $y=0$. Все точки фигуры находятся на этой прямой или выше нее, поэтому для координаты y выполняется неравенство:
$y \ge 0$.
2. Верхняя граница фигуры состоит из двух отрезков, образующих "крышу" треугольника.
- Левый верхний отрезок соединяет точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$. Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки. Угловой коэффициент $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{0 - (-2)} = \frac{2}{2} = 1$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Подставив координаты точки $(0, 2)$, находим $b$: $2 = 1 \cdot 0 + b$, откуда $b = 2$. Уравнение прямой: $y = x + 2$. Поскольку закрашенная область находится ниже этой прямой, соответствующее неравенство: $y \le x + 2$.
- Правый верхний отрезок соединяет точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$. Угловой коэффициент $k = \frac{0 - 2}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1$. Уравнение прямой: $y = -x + 2$ (так как $b=2$). Поскольку закрашенная область находится ниже этой прямой, соответствующее неравенство: $y \le -x + 2$.
Таким образом, фигуру можно описать системой из трех неравенств:
$\begin{cases} y \ge 0 \\ y \le x + 2 \\ y \le -x + 2 \end{cases}$
Два последних неравенства, описывающие верхнюю границу, можно объединить в одно с помощью модуля. Функция, описывающая верхнюю границу, это $y = -|x| + 2$. Действительно, при $x \ge 0$ имеем $y = -x + 2$, а при $x < 0$ имеем $y = -(-x) + 2 = x + 2$.
Поэтому неравенства $y \le x + 2$ и $y \le -x + 2$ эквивалентны одному неравенству $y \le -|x| + 2$, которое можно переписать в виде $y + |x| \le 2$.
В итоге получаем более компактную систему из двух неравенств.

Ответ: $\begin{cases} y \ge 0 \\ y + |x| \le 2 \end{cases}$.