Страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Найдите:
а) $\sin 30^\circ$;
б) $\cos 60^\circ$;
в) $\tan 45^\circ$;
г) $\cot 45^\circ$.

а) Чтобы найти значение синуса 30 градусов, воспользуемся значением из таблицы основных тригонометрических углов. Синус 30 градусов является одним из стандартных значений. Для прямоугольного треугольника с углами 30°, 60° и 90°, катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, следовательно: $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Чтобы найти значение косинуса 60 градусов, также можно обратиться к табличным значениям или к тому же прямоугольному треугольнику с углами 30°, 60° и 90°. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла 60° прилежащий катет - это тот, что лежит напротив угла 30°, и он равен половине гипотенузы. Таким образом, $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Чтобы найти значение тангенса 45 градусов, рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого углы при основании равны 45°. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему. В таком треугольнике катеты равны. Пусть длина каждого катета равна $a$. Тогда $ \tg 45^\circ = \frac{a}{a} = 1 $.
Ответ: 1

г) Чтобы найти значение котангенса 45 градусов, используем тот же равнобедренный прямоугольный треугольник. Котангенс - это отношение прилежащего катета к противолежащему. Так как катеты равны, их отношение также равно единице. $ \ctg 45^\circ = \frac{a}{a} = 1 $. Также можно вспомнить, что котангенс - это величина, обратная тангенсу: $ \ctg 45^\circ = \frac{1}{\tg 45^\circ} = \frac{1}{1} = 1 $.
Ответ: 1

39. В каких пределах могут изменяться:

а) синус;

б) косинус острого угла?

а) синус
Рассмотрим значение синуса для произвольного угла $\alpha$. В тригонометрии синус угла определяется через единичную окружность (окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат). Синус угла $\alpha$ — это ордината (координата $y$) точки на этой окружности, которая соответствует повороту на угол $\alpha$ от положительного направления оси абсцисс.
Поскольку любая точка на единичной окружности имеет координаты $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению $x^2 + y^2 = 1$, то ее ордината $y$ может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1. Минимальное значение, равное -1, достигается в нижней точке окружности (угол $270^\circ$ или $-90^\circ$), а максимальное, равное 1, — в верхней точке (угол $90^\circ$).
Таким образом, область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \sin(\alpha) \le 1$
Ответ: синус может изменяться в пределах от -1 до 1 включительно.

б) косинус острого угла
Острый угол — это угол $\alpha$, величина которого строго больше $0^\circ$ и строго меньше $90^\circ$, то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы. Пусть длина прилежащего катета равна $b$, а длина гипотенузы — $c$. Тогда по определению:
$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$
Длины сторон треугольника всегда являются положительными числами, поэтому $b > 0$ и $c > 0$. Следовательно, их отношение $\frac{b}{c}$ также всегда положительно. Отсюда имеем первое условие: $\cos(\alpha) > 0$.
В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, поэтому любой катет всегда короче гипотенузы. В нашем случае $b < c$. Разделив обе части этого неравенства на положительное число $c$, получаем $\frac{b}{c} < 1$. Отсюда имеем второе условие: $\cos(\alpha) < 1$.
Объединяя оба условия, получаем, что косинус острого угла может принимать любые значения из интервала $(0, 1)$. В виде двойного неравенства это записывается так:
$0 < \cos(\alpha) < 1$
Ответ: косинус острого угла изменяется в пределах от 0 до 1, не включая граничные значения 0 и 1.

40. В каких пределах могут изменяться:

а) тангенс;

б) котангенс острого угла?

а) тангенс
В контексте вопроса речь идет о тангенсе острого угла. Острый угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Для любого острого угла значения синуса и косинуса положительны, а значит, и их отношение (тангенс) будет положительным.
Рассмотрим поведение тангенса на границах интервала:
- Когда угол $\alpha$ стремится к $0^\circ$ (справа, т.е. $\alpha \to 0^+$), значение $\sin(\alpha)$ стремится к 0, а $\cos(\alpha)$ стремится к 1. Следовательно, $\tan(\alpha)$ стремится к $\frac{0}{1} = 0$.
- Когда угол $\alpha$ стремится к $90^\circ$ (слева, т.е. $\alpha \to 90^-$), значение $\sin(\alpha)$ стремится к 1, а $\cos(\alpha)$ стремится к 0 (оставаясь положительным). Следовательно, $\tan(\alpha)$ стремится к $+\infty$.
Так как функция тангенса непрерывна на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, она принимает все возможные значения между 0 и $+\infty$.
Ответ: Тангенс острого угла может принимать любое положительное значение, то есть его значения лежат в интервале $(0; +\infty)$.

б) котангенс острого угла
Котангенс острого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
Поскольку для острого угла и синус, и косинус положительны, котангенс также всегда будет положительным числом.
Рассмотрим поведение котангенса на границах интервала:
- Когда угол $\alpha$ стремится к $0^\circ$ ($\alpha \to 0^+$), значение $\cos(\alpha)$ стремится к 1, а $\sin(\alpha)$ стремится к 0 (оставаясь положительным). Следовательно, $\cot(\alpha)$ стремится к $+\infty$.
- Когда угол $\alpha$ стремится к $90^\circ$ ($\alpha \to 90^-$), значение $\cos(\alpha)$ стремится к 0, а $\sin(\alpha)$ стремится к 1. Следовательно, $\cot(\alpha)$ стремится к $\frac{0}{1} = 0$.
Так как функция котангенса непрерывна на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, она принимает все возможные значения между $+\infty$ и 0.
Ответ: Котангенс острого угла может принимать любое положительное значение, то есть его значения лежат в интервале $(0; +\infty)$.

4. Для каких углов $sin(x) = cos(x)$?

Для нахождения углов, у которых синус равен косинусу, необходимо решить тригонометрическое уравнение. Существует несколько способов решения.

Алгебраическое решение

Запишем равенство в виде уравнения, где $\alpha$ - искомый угол:

$\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $\cos(\alpha)$. Это действие корректно, так как если $\cos(\alpha) = 0$, то $\sin(\alpha)$ должен быть равен $\pm 1$. В этом случае равенство $\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$ не выполняется ($ \pm 1 \neq 0$), следовательно, среди решений нет углов, для которых $\cos(\alpha)=0$.

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 1$

Используя определение тангенса $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, получаем уравнение:

$\tan(\alpha) = 1$

Общее решение этого уравнения записывается в виде:

$\alpha = \arctan(1) + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Главное значение арктангенса единицы равно $\frac{\pi}{4}$ (в радианах) или 45° (в градусах). Таким образом, получаем общую формулу для всех искомых углов:

В радианах: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

В градусах: $\alpha = 45^\circ + 180^\circ \cdot k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Геометрическое решение

Рассмотрим единичную тригонометрическую окружность. Косинус угла $\alpha$ соответствует координате $x$ точки на окружности, а синус угла $\alpha$ - координате $y$.

Условие $\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$ означает, что мы ищем точки на единичной окружности, у которых координата $y$ равна координате $x$. Геометрически это точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 1$ и прямой $y = x$.

Подставим $y=x$ в уравнение окружности, чтобы найти координаты этих точек:

$x^2 + x^2 = 1$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Поскольку $y=x$, точки пересечения имеют координаты:
1. $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$ (или 45°), а также всем углам вида $\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.
2. $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка соответствует углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$ (или 225°), а также всем углам вида $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Эти две серии решений можно объединить в одну, так как углы $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$ отличаются на $\pi$ (180°). Таким образом, общее решение можно записать как $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: Синус равен косинусу для всех углов $\alpha$, определяемых формулой $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$ (в радианах) или $\alpha = 45^\circ + 180^\circ \cdot k$ (в градусах), где $k$ — любое целое число.

42. Для каких острых углов:
а) $\sin x < \cos x$;
б) $\sin x > \cos x?$

а) синус меньше косинуса
Пусть $\alpha$ — это острый угол, то есть угол, для которого выполняется неравенство $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Нам необходимо определить, при каких значениях $\alpha$ из этого промежутка синус будет меньше косинуса: $\sin(\alpha) < \cos(\alpha)$.
В интервале $(0^\circ, 90^\circ)$ косинус угла всегда положителен ($\cos(\alpha) > 0$). Это позволяет нам разделить обе части неравенства на $\cos(\alpha)$, не меняя знака неравенства:
$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} < 1$
Используя тригонометрическое тождество $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, мы получаем:
$\tan(\alpha) < 1$
Известно, что $\tan(45^\circ) = 1$. Подставим это значение в наше неравенство:
$\tan(\alpha) < \tan(45^\circ)$
Функция тангенса является возрастающей на всем интервале острых углов. Это значит, что для двух углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ из этого интервала, если $\tan(\alpha_1) < \tan(\alpha_2)$, то и $\alpha_1 < \alpha_2$.
Применяя это свойство к нашему неравенству, получаем: $\alpha < 45^\circ$.
Так как мы рассматриваем только острые углы ($\alpha > 0^\circ$), итоговое решение представляет собой интервал.
Ответ: для острых углов $\alpha$, удовлетворяющих условию $0^\circ < \alpha < 45^\circ$.

б) синус больше косинуса
Аналогично, найдем, при каких острых углах $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) синус будет больше косинуса: $\sin(\alpha) > \cos(\alpha)$.
Снова разделим неравенство на $\cos(\alpha)$, который положителен для острых углов:
$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} > 1$
Это неравенство эквивалентно следующему:
$\tan(\alpha) > 1$
Заменим 1 на $\tan(45^\circ)$:
$\tan(\alpha) > \tan(45^\circ)$
Так как функция тангенса возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, из неравенства для тангенсов следует соответствующее неравенство для углов: $\alpha > 45^\circ$.
Учитывая, что $\alpha$ — острый угол, то есть $\alpha < 90^\circ$, получаем конечное решение.
Ответ: для острых углов $\alpha$, удовлетворяющих условию $45^\circ < \alpha < 90^\circ$.

43. Для каких углов:

а) тангенс меньше котангенса; $ \tan x < \cot x $

б) тангенс больше котангенса? $ \tan x > \cot x $

а) тангенс меньше котангенса

Нам необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняется неравенство $\tan(\alpha) < \cot(\alpha)$.

Прежде всего, определим область допустимых значений. Тангенс не определен для углов $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$, а котангенс — для углов $\alpha = k\pi$, где $k$ — любое целое число. Таким образом, мы ищем решения при $\alpha \neq \frac{k\pi}{2}$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:$\tan(\alpha) - \cot(\alpha) < 0$

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:$\frac{\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} < 0$

Воспользуемся формулами двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Числитель равен $-\cos(2\alpha)$, а знаменатель равен $\frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.$\frac{-\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} < 0$

Упрощая, получаем:$-2\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} < 0$$-2\cot(2\alpha) < 0$

Разделим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства на противоположный:$\cot(2\alpha) > 0$

Котангенс является положительным в I и III координатных четвертях. Следовательно, аргумент котангенса, то есть $2\alpha$, должен лежать в следующих интервалах:$k\pi < 2\alpha < k\pi + \frac{\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $\alpha$, разделим все части этого двойного неравенства на 2:$\frac{k\pi}{2} < \alpha < \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{k\pi}{2} < \alpha < \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) тангенс больше котангенса

Теперь нам необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняется неравенство $\tan(\alpha) > \cot(\alpha)$.

Мы можем использовать те же преобразования, что и в пункте а). Проделав их, мы придем к неравенству:$-2\cot(2\alpha) > 0$

Разделим обе части на $-2$ и снова изменим знак неравенства:$\cot(2\alpha) < 0$

Котангенс является отрицательным во II и IV координатных четвертях. Следовательно, аргумент котангенса $2\alpha$ должен лежать в интервалах:$k\pi + \frac{\pi}{2} < 2\alpha < k\pi + \pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части этого двойного неравенства на 2, чтобы найти $\alpha$:$\frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

44. У прямоугольного треугольника заданы катеты $a$ и $b$. Найдите гипотенузу $c$, если:

а) $a = 3$, $b = 4$;

б) $a = 5$, $b = 12$;

в) $a = 8$, $b = 15$.

Для решения этой задачи используется теорема Пифагора, которая связывает стороны прямоугольного треугольника. Согласно этой теореме, квадрат длины гипотенузы ($c$) равен сумме квадратов длин катетов ($a$ и $b$).

Формула теоремы Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.

Чтобы найти длину гипотенузы $c$, мы извлекаем квадратный корень из суммы квадратов катетов: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Рассчитаем гипотенузу для каждого случая.

а) Даны катеты $a = 3$ и $b = 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$c = \sqrt{3^2 + 4^2}$

$c = \sqrt{9 + 16}$

$c = \sqrt{25}$

$c = 5$

Ответ: 5.

б) Даны катеты $a = 5$ и $b = 12$.

Подставим эти значения в формулу:

$c = \sqrt{5^2 + 12^2}$

$c = \sqrt{25 + 144}$

$c = \sqrt{169}$

$c = 13$

Ответ: 13.

в) Даны катеты $a = 8$ и $b = 15$.

Подставим эти значения в формулу:

$c = \sqrt{8^2 + 15^2}$

$c = \sqrt{64 + 225}$

$c = \sqrt{289}$

$c = 17$

Ответ: 17.

45. У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза $c$ и катет $a$. Найдите второй катет, если:
а) $c = 5, a = 3$;
б) $c = 13, a = 5$;
в) $c = 10, a = 8$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ – это гипотенуза, а $a$ и $b$ – катеты.

Чтобы найти второй катет $b$, когда известны гипотенуза $c$ и первый катет $a$, выразим $b$ из формулы: $b^2 = c^2 - a^2$, следовательно, $b = \sqrt{c^2 - a^2}$.

а)

Дано: гипотенуза $c = 5$ и катет $a = 3$.

Подставим значения в формулу для нахождения второго катета $b$:

$b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: 4.

б)

Дано: гипотенуза $c = 13$ и катет $a = 5$.

Подставим значения в формулу для нахождения второго катета $b$:

$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12.

в)

Дано: гипотенуза $c = 10$ и катет $a = 8$.

Подставим значения в формулу для нахождения второго катета $b$:

$b = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6.

46. Найдите диагональ квадрата со стороной 1.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора. Диагональ квадрата делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Стороны квадрата являются катетами этих треугольников, а диагональ — их общей гипотенузой.

Пусть сторона квадрата равна $a$, а диагональ равна $d$. По условию задачи, $a = 1$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$d^2 = a^2 + a^2$

Подставим значение стороны $a = 1$ в формулу:

$d^2 = 1^2 + 1^2$

$d^2 = 1 + 1$

$d^2 = 2$

Чтобы найти длину диагонали $d$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$d = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

47. Диагональ квадрата равна 2. Найдите его сторону.

47. Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — его диагональ. Из условия задачи известно, что $d = 2$.

Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника. Стороны квадрата $a$ являются катетами этих треугольников, а диагональ $d$ — их общей гипотенузой.

Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + a^2 = d^2$

Упростим уравнение:

$2a^2 = d^2$

Подставим в уравнение значение диагонали $d=2$:

$2a^2 = 2^2$

$2a^2 = 4$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $a^2$:

$a^2 = \frac{4}{2}$

$a^2 = 2$

Чтобы найти длину стороны $a$, извлечем квадратный корень. Поскольку длина стороны может быть только положительным числом, выбираем положительное значение корня:

$a = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

48. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 1.

Рассмотрим равносторонний треугольник, обозначим его как $ABC$. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны $60^\circ$. По условию задачи, длина стороны треугольника равна 1. Обозначим сторону как $a$, то есть $a = 1$.

Для нахождения высоты $h$ можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Использование теоремы Пифагора

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это означает, что она делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AH = HC$.

Длина отрезка $HC$ будет равна половине длины стороны $a$:

$HC = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$

Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому треугольник $BHC$ является прямоугольным. В этом треугольнике:

• $BC$ - гипотенуза, равная $a = 1$.
• $HC$ - катет, равный $\frac{1}{2}$.
• $BH$ - второй катет, который является искомой высотой $h$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

Подставим известные значения:

$1^2 = h^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$1 = h^2 + \frac{1}{4}$

Выразим $h^2$:

$h^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $h$ (длина может быть только положительной):

$h = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Способ 2: Использование тригонометрических функций

Рассмотрим тот же прямоугольный треугольник $BHC$. Угол $C$ в равностороннем треугольнике равен $60^\circ$. Высота $h = BH$ является катетом, противолежащим этому углу, а сторона $BC = 1$ — гипотенузой.

Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(C) = \frac{BH}{BC}$

Подставим известные значения:

$\sin(60^\circ) = \frac{h}{1}$

Значение синуса $60^\circ$ является табличным: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно:

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

49. Найдите высоту, опущенную на основание равнобедренного треугольника со сторонами 5, 5, 6.

В данном равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 5, а основание равно 6. Высота, опущенная на основание, делит его на два равных отрезка, а сам треугольник — на два равных прямоугольных треугольника.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник, в котором:
- гипотенуза равна боковой стороне исходного треугольника, то есть 5.
- один из катетов равен половине основания, то есть $6 / 2 = 3$.
- второй катет является искомой высотой, обозначим ее $h$.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$):
$h^2 + 3^2 = 5^2$

Теперь решим это уравнение:
$h^2 + 9 = 25$
$h^2 = 25 - 9$
$h^2 = 16$
$h = \sqrt{16}$
$h = 4$

Следовательно, высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, равна 4.

Ответ: 4.

50. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 см и 8 см.

Для нахождения стороны ромба воспользуемся его свойствами. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников катетами являются половины диагоналей, а гипотенузой — сторона ромба.

По условию задачи, даны диагонали $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см.

Найдем длины половин диагоналей, которые и будут катетами образованного прямоугольного треугольника:
Первый катет: $k_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Второй катет: $k_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь применим теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Обозначим сторону ромба (гипотенузу) буквой a.
$a^2 = k_1^2 + k_2^2$

Подставим числовые значения в формулу:
$a^2 = 3^2 + 4^2$
$a^2 = 9 + 16$
$a^2 = 25$

Чтобы найти длину стороны a, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$a = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

51. Упростите выражение:

а) $1 - \sin^2 A$

б) $1 + \sin^2 A + \cos^2 A$

а) Чтобы упростить выражение $1 - \sin^2 A$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

Выразим из этого тождества $\cos^2 A$. Для этого перенесем $\sin^2 A$ в правую часть уравнения:

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$.

Следовательно, данное выражение $1 - \sin^2 A$ можно заменить на $\cos^2 A$.

Ответ: $\cos^2 A$

б) Чтобы упростить выражение $1 + \sin^2 A + \cos^2 A$, мы также можем использовать основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

В исходном выражении $1 + \sin^2 A + \cos^2 A$ можно сгруппировать последние два слагаемых: $1 + (\sin^2 A + \cos^2 A)$.

Теперь заменим выражение в скобках его значением, равным 1:

$1 + 1 = 2$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до числа 2.

Ответ: $2$

52. Найдите sin A, если:

a) $cos A = \frac{1}{2}$;

б) $cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для нахождения $ \sin A $, зная $ \cos A $, мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 $. Из этого тождества можно выразить синус угла:

$ \sin^2 A = 1 - \cos^2 A $

$ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} $

В контексте геометрии, угол A обычно является острым углом прямоугольного треугольника, поэтому его синус положителен. Исходя из этого, мы будем использовать положительное значение корня.

а)

Если $ \cos A = \frac{1}{2} $, то для нахождения $ \sin A $ подставим это значение в формулу:

$ \sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} $

$ \sin A = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} $

$ \sin A = \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}} $

$ \sin A = \sqrt{\frac{3}{4}} $

$ \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

б)

Если $ \cos A = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то для нахождения $ \sin A $ подставим это значение в формулу:

$ \sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} $

$ \sin A = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} $

$ \sin A = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} $

$ \sin A = \sqrt{\frac{1}{2}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \sin A = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

53. Найдите cosA, если:

а) $sin A = \frac{1}{3}$

б) $sin A = \frac{\sqrt{2}}{3}$

а) Для нахождения $cos A$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 A + cos^2 A = 1$.
Из этого тождества можно выразить $cos^2 A$:
$cos^2 A = 1 - sin^2 A$.
Поскольку в задачах по геометрии, если не указано иное, рассматриваются острые углы, для которых косинус положителен, получаем:
$cos A = \sqrt{1 - sin^2 A}$.
Подставим в формулу известное значение $sin A = \frac{1}{3}$:
$cos A = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}}$.
Упростим полученное выражение:
$cos A = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

б) Решение аналогично предыдущему пункту. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 A + cos^2 A = 1$ и выведенную из него формулу для положительного косинуса $cos A = \sqrt{1 - sin^2 A}$.
Подставим в формулу известное значение $sin A = \frac{\sqrt{2}}{3}$:
$cos A = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} - \frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{7}{9}}$.
Упростим результат:
$cos A = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{3}$.

54. Найдите tgA, если:

а) $cos A = \frac{5}{13}$;

б) $cos A = 0.8$.

а) Для нахождения тангенса угла A, зная его косинус, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$.Из этого тождества выразим квадрат тангенса:$\text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} - 1$.Теперь подставим в формулу заданное значение $\cos A = \frac{5}{13}$:$\text{tg}^2 A = \frac{1}{\left(\frac{5}{13}\right)^2} - 1 = \frac{1}{\frac{25}{169}} - 1 = \frac{169}{25} - 1$.Приведем выражение к общему знаменателю:$\text{tg}^2 A = \frac{169}{25} - \frac{25}{25} = \frac{144}{25}$.В задачах по геометрии обычно предполагается, что рассматриваемый угол является острым. Для острого угла тангенс положителен. Поэтому, извлекая квадратный корень, получаем:$\text{tg} A = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$.Данную дробь можно также представить в десятичном виде: $2,4$.Ответ: $\frac{12}{5}$ или $2,4$.

б) Решим этот пункт аналогично предыдущему. Сначала представим десятичную дробь $0,8$ в виде обыкновенной для удобства вычислений: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.Используем то же самое тождество: $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$.Выражаем $\text{tg}^2 A$:$\text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} - 1$.Подставляем значение $\cos A = \frac{4}{5}$:$\text{tg}^2 A = \frac{1}{\left(\frac{4}{5}\right)^2} - 1 = \frac{1}{\frac{16}{25}} - 1 = \frac{25}{16} - 1$.Приводим к общему знаменателю:$\text{tg}^2 A = \frac{25}{16} - \frac{16}{16} = \frac{9}{16}$.Предполагая, что угол $A$ острый, его тангенс будет положительным. Извлекаем квадратный корень:$\text{tg} A = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.Поскольку исходное значение было дано в виде десятичной дроби, ответ также можно представить в этом виде: $\frac{3}{4} = 0,75$.Ответ: $0,75$.

55. Докажите тождество $1 + \text{ctg}^2 A = \frac{1}{\text{sin}^2 A}$.

Для доказательства тождества $1 + \text{ctg}^2 A = \frac{1}{\sin^2 A}$ мы последовательно преобразуем его левую часть, пока она не станет равна правой.

Шаг 1: Использование определения котангенса
Вспомним, что котангенс угла определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу.$\text{ctg} A = \frac{\cos A}{\sin A}$.Соответственно, квадрат котангенса будет равен:$\text{ctg}^2 A = \left(\frac{\cos A}{\sin A}\right)^2 = \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$.

Шаг 2: Подстановка в левую часть тождества
Заменим $\text{ctg}^2 A$ в левой части доказываемого равенства на полученное выражение:$1 + \text{ctg}^2 A = 1 + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$.

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю
Чтобы сложить $1$ и дробь $\frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$, представим $1$ как дробь со знаменателем $\sin^2 A$:$1 = \frac{\sin^2 A}{\sin^2 A}$.Теперь мы можем сложить дроби:$1 + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A}{\sin^2 A} + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A}$.

Шаг 4: Применение основного тригонометрического тождества
Основное тригонометрическое тождество (или тригонометрическая единица) гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице:$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.Используем это тождество для упрощения числителя нашей дроби:$\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{1}{\sin^2 A}$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть исходного равенства равна $\frac{1}{\sin^2 A}$, что в точности совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано. Цепочка преобразований левой части: $1 + \text{ctg}^2 A = 1 + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{1}{\sin^2 A}$.

56. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$, угол A равен $45^\circ$, $AC = 1$.

Найдите высоту $CH$.

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 45^{\circ}$ и катет $AC = 1$. Высота $CH$ проведена из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, мы можем найти угол $B$:
$\angle B = 180^{\circ} - \angle C - \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.
Поскольку $\angle A = \angle B$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, а значит, катеты $AC$ и $BC$ равны: $AC = BC = 1$.

Для нахождения высоты $CH$ можно рассмотреть прямоугольный треугольник $ACH$. В этом треугольнике (поскольку $CH$ — высота, $\angle CHA = 90^{\circ}$) нам известны гипотенуза $AC = 1$ и острый угол $\angle A = 45^{\circ}$.

Высота $CH$ является катетом, противолежащим углу $A$ в треугольнике $ACH$. Воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\angle A) = \frac{CH}{AC}$

Из этой формулы выразим искомую высоту $CH$:
$CH = AC \cdot \sin(\angle A)$

Подставим известные значения в формулу:
$CH = 1 \cdot \sin(45^{\circ})$

Значение $\sin(45^{\circ})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$CH = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

57. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos A = \frac{4}{5}$, $BC = 3$. Найдите $AB$.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C — прямой ($ \angle C = 90^\circ $). В прямоугольном треугольнике стороны и углы связаны тригонометрическими соотношениями. Нам нужно найти длину гипотенузы AB.

Известные данные:

1. Угол $ \angle C = 90^\circ $.

2. Косинус угла A: $ \cos A = \frac{4}{5} $.

3. Длина катета BC, противолежащего углу A: $ BC = 3 $.

Для нахождения гипотенузы AB мы можем использовать определение синуса угла A, которое гласит, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$ \sin A = \frac{BC}{AB} $

Сначала найдем значение $ \sin A $. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 $. Так как A — острый угол прямоугольного треугольника, его синус положителен.

$ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} $

Подставим известное значение $ \cos A = \frac{4}{5} $ в формулу:

$ \sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $

Теперь, зная $ \sin A $ и длину катета BC, мы можем выразить и найти гипотенузу AB из формулы синуса:

$ AB = \frac{BC}{\sin A} $

Подставим известные значения $ BC = 3 $ и $ \sin A = \frac{3}{5} $:

$ AB = \frac{3}{\frac{3}{5}} = 3 \cdot \frac{5}{3} = 5 $

Ответ: 5

58. В треугольнике ABC $AC = BC = 1$, $\angle C$ равен $120^\circ$. Найдите высоту AH.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $AC = BC = 1$ и $\angle C = 120^\circ$. Требуется найти высоту $AH$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, углы при основании равны:
$\angle A = \angle B = (180^\circ - \angle C) / 2 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Высота $AH$ — это перпендикуляр, проведенный из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Так как угол $C$ является тупым ($120^\circ > 90^\circ$), основание высоты, точка $H$, будет находиться на продолжении стороны $BC$ за вершиной $C$.

В результате образуется прямоугольный треугольник $AHC$, в котором $\angle AHC = 90^\circ$.

Угол $\angle ACH$ и угол $\angle ACB$ (который равен $\angle C = 120^\circ$) являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle ACH = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $AHC$ нам известны:
- гипотенуза $AC = 1$ (по условию),
- угол $\angle ACH = 60^\circ$.

Высота $AH$ является катетом, противолежащим углу $\angle ACH$. Мы можем найти ее длину, используя определение синуса:
$\sin(\angle ACH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC}$

Подставляем известные значения:
$\sin(60^\circ) = \frac{AH}{1}$
$AH = \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$AH = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

59. Чему равен синус: а) $120^\circ$; б) $135^\circ$; в) $150^\circ$?

а) Для нахождения синуса угла $120^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$. Углы, для которых выполняется это равенство, имеют одинаковую ординату на тригонометрической окружности. Представим $120^\circ$ как разность $180^\circ - 60^\circ$.
Применяя формулу, получаем:
$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ)$.
Значение синуса $60^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Для нахождения синуса угла $135^\circ$ применим ту же формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$. Представим угол $135^\circ$ в виде разности $180^\circ - 45^\circ$.
Подставляем в формулу:
$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ)$.
Табличное значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Для нахождения синуса угла $150^\circ$ снова используем формулу приведения для синуса $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$. Представим $150^\circ$ как $180^\circ - 30^\circ$.
Используем формулу:
$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$.
Синус $30^\circ$ — это известное табличное значение, равное $\frac{1}{2}$.
Значит, $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

80. Чему равен косинус:
а) $120^\circ$;
б) $135^\circ$;
в) $150^\circ$?

Для нахождения косинусов данных углов, которые являются тупыми (находятся во второй четверти единичной окружности), мы можем воспользоваться формулами приведения. Наиболее удобной в данном случае является формула $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Она позволяет свести вычисление косинуса тупого угла к косинусу острого угла, значение которого является табличным.

а)

Необходимо найти значение $\cos(120^\circ)$.

Представим угол $120^\circ$ как разность $180^\circ - 60^\circ$.

Применяя формулу приведения, получаем:

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ)$

Согласно таблице стандартных тригонометрических значений, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, искомое значение:

$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б)

Необходимо найти значение $\cos(135^\circ)$.

Представим угол $135^\circ$ как разность $180^\circ - 45^\circ$.

Применяя формулу приведения, получаем:

$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ)$

Согласно таблице стандартных тригонометрических значений, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, искомое значение:

$\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в)

Необходимо найти значение $\cos(150^\circ)$.

Представим угол $150^\circ$ как разность $180^\circ - 30^\circ$.

Применяя формулу приведения, получаем:

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$

Согласно таблице стандартных тригонометрических значений, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, искомое значение:

$\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

61. Чему равен тангенс:
а) $120^\circ$;
б) $135^\circ$;
в) $150^\circ$?

Для нахождения значений тангенса для углов второй четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$) удобно использовать формулы приведения. Одна из таких формул: $ \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha) $. Также можно использовать определение тангенса через синус и косинус: $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

а) Найдем тангенс $120^\circ$.

Представим угол $120^\circ$ как разность $180^\circ - 60^\circ$.

Используем формулу приведения:

$ \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) $.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $.

Следовательно, $ \tan(120^\circ) = -\sqrt{3} $.

Ответ: $ -\sqrt{3} $

б) Найдем тангенс $135^\circ$.

Представим угол $135^\circ$ как разность $180^\circ - 45^\circ$.

Используем формулу приведения:

$ \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) $.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \tan(45^\circ) = 1 $.

Следовательно, $ \tan(135^\circ) = -1 $.

Ответ: $ -1 $

в) Найдем тангенс $150^\circ$.

Представим угол $150^\circ$ как разность $180^\circ - 30^\circ$.

Используем формулу приведения:

$ \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) $.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Следовательно, $ \tan(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $

02. Чему равен котангенс:

а) $120^\circ$;

б) $135^\circ$;

в) $150^\circ$?

а) Для нахождения котангенса угла $120^\circ$ используется формула приведения $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot(\alpha)$. Представим угол $120^\circ$ как разность $180^\circ - 60^\circ$ и применим формулу:
$\cot(120^\circ) = \cot(180^\circ - 60^\circ) = -\cot(60^\circ)$.
Согласно таблице тригонометрических значений, $\cot(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, искомое значение: $\cot(120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Чтобы найти котангенс $135^\circ$, представим этот угол как $180^\circ - 45^\circ$ и применим формулу приведения $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot(\alpha)$:
$\cot(135^\circ) = \cot(180^\circ - 45^\circ) = -\cot(45^\circ)$.
Табличное значение $\cot(45^\circ)$ равно $1$.
Следовательно, $\cot(135^\circ) = -1$.
Ответ: $-1$.

в) Для вычисления котангенса $150^\circ$ представим угол в виде $180^\circ - 30^\circ$ и снова воспользуемся формулой приведения:
$\cot(150^\circ) = \cot(180^\circ - 30^\circ) = -\cot(30^\circ)$.
Известно, что табличное значение $\cot(30^\circ)$ равно $\sqrt{3}$.
Поэтому, $\cot(150^\circ) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.

63. Докажите, что для тупых углов А имеют место равенства:

$tg A = -tg(180^{\circ} - A) ; ctg A = -ctg(180^{\circ} - A).$

tg A = -tg(180° - A)
Для доказательства данного равенства воспользуемся определением тангенса через синус и косинус: $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
Рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $ -\text{tg}(180° - A) $.
Используем формулы приведения, которые связывают тригонометрические функции для смежных углов:
$ \sin(180° - A) = \sin A $
$ \cos(180° - A) = -\cos A $
Подставим эти соотношения в выражение для правой части:
$ -\text{tg}(180° - A) = - \frac{\sin(180° - A)}{\cos(180° - A)} = - \frac{\sin A}{-\cos A} = \frac{\sin A}{\cos A} $.
Согласно определению тангенса, $ \frac{\sin A}{\cos A} = \text{tg} A $, что является левой частью исходного равенства.
Таким образом, мы доказали, что $ \text{tg} A = -\text{tg}(180° - A) $.
По условию, $ A $ — тупой угол, то есть $ 90° < A < 180° $. Для таких углов $ \sin A > 0 $ и $ \cos A < 0 $, следовательно $ \text{tg} A < 0 $. Угол $ (180° - A) $ является острым ($ 0° < 180° - A < 90° $), поэтому его тангенс положителен: $ \text{tg}(180° - A) > 0 $. Значит, выражение $ -\text{tg}(180° - A) $ отрицательно, что подтверждает верность равенства.
Ответ: Равенство доказано.

ctg A = -ctg(180° - A)
Для доказательства этого равенства воспользуемся определением котангенса: $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.
Рассмотрим правую часть равенства: $ -\text{ctg}(180° - A) $.
Применим те же формулы приведения:
$ \sin(180° - A) = \sin A $
$ \cos(180° - A) = -\cos A $
Подставим их в выражение для правой части:
$ -\text{ctg}(180° - A) = - \frac{\cos(180° - A)}{\sin(180° - A)} = - \frac{-\cos A}{\sin A} = \frac{\cos A}{\sin A} $.
Согласно определению котангенса, $ \frac{\cos A}{\sin A} = \text{ctg} A $, что является левой частью исходного равенства.
Таким образом, мы доказали, что $ \text{ctg} A = -\text{ctg}(180° - A) $.
Поскольку $ A $ — тупой угол ($ 90° < A < 180° $), то $ \sin A > 0 $ и $ \cos A < 0 $, следовательно $ \text{ctg} A < 0 $. Угол $ (180° - A) $ является острым ($ 0° < 180° - A < 90° $), поэтому его котангенс положителен: $ \text{ctg}(180° - A) > 0 $. Значит, выражение $ -\text{ctg}(180° - A) $ отрицательно, что соответствует знаку левой части.
Ответ: Равенство доказано.