Страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

82. Площадь треугольника $ABC$ равна 4. Точки $D$, $E$ — середины сторон соответственно $AC$ и $BC$. Найдите площадь треугольника $CDE$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDE$. По условию, точка $D$ является серединой стороны $AC$, а точка $E$ — серединой стороны $BC$.

Это означает, что отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$, проведенной параллельно стороне $AB$.

Рассмотрим треугольники $CDE$ и $CAB$. У них общий угол $\angle C$. Стороны, образующие этот угол, пропорциональны, так как $D$ и $E$ — середины сторон:$CD = \frac{1}{2} AC$$CE = \frac{1}{2} BC$Соответственно, отношение сторон: $\frac{CD}{AC} = \frac{CE}{BC} = \frac{1}{2}$.

По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $CDE$ подобен треугольнику $CAB$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон, то есть $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2$

Подставим значение коэффициента подобия:$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Из этого соотношения мы можем выразить площадь треугольника $CDE$ через площадь треугольника $ABC$:$S_{CDE} = \frac{1}{4} S_{ABC}$

По условию задачи, площадь треугольника $ABC$ равна 4. Подставим это значение в формулу:$S_{CDE} = \frac{1}{4} \times 4 = 1$

Ответ: 1

83. Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Проведем в нем медиану $BM$ из вершины $B$ к стороне $AC$.

По определению, медиана делит сторону, к которой она проведена, на два равных отрезка. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$, и $AM = MC$.

Медиана $BM$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Площадь треугольника определяется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — это длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Эта высота $BH$ является общей для обоих треугольников: для $\triangle ABM$ с основанием $AM$ и для $\triangle CBM$ с основанием $MC$, так как их основания лежат на одной прямой $AC$.

Найдем площадь треугольника $ABM$:
$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$

Теперь найдем площадь треугольника $CBM$:
$S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot BH$

Поскольку $BM$ является медианой, мы знаем, что $AM = MC$. Сравнивая формулы для площадей, мы видим, что их правые части равны, так как состоят из одинаковых множителей. Отсюда следует, что и сами площади равны:
$S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$

Треугольники, имеющие равные площади, называются равновеликими. Следовательно, медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что медиана делит одну из сторон треугольника на два равных отрезка ($AM=MC$). Два треугольника, образованные медианой ($\triangle ABM$ и $\triangle CBM$), имеют равные основания ($AM$ и $MC$) и общую высоту ($BH$), проведенную из общей вершины ($B$) к этим основаниям. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту ($S = \frac{1}{2}ah$), то площади этих двух треугольников равны.

84. В треугольнике $ABC$ две стороны равны $a$ и $b$. При каком угле между ними площадь треугольника будет наибольшей?

Обозначим данные стороны треугольника как $a$ и $b$, а угол между ними как $\gamma$.

Площадь треугольника ($S$) можно найти по формуле, которая связывает две стороны и угол между ними:$S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$

В данной задаче длины сторон $a$ и $b$ являются фиксированными положительными величинами (константами). Это означает, что величина площади $S$ напрямую зависит только от значения $\sin(\gamma)$. Чтобы площадь была наибольшей, значение $\sin(\gamma)$ должно быть максимальным.

Угол $\gamma$ является внутренним углом треугольника, поэтому он может принимать значения в интервале $0^\circ < \gamma < 180^\circ$. На этом интервале тригонометрическая функция синус, $f(\gamma) = \sin(\gamma)$, принимает значения от 0 до 1.

Максимальное значение функции синуса равно 1. Это значение достигается при угле $\gamma = 90^\circ$.

Следовательно, площадь треугольника будет наибольшей, когда угол между сторонами $a$ и $b$ будет прямым. В этом случае треугольник является прямоугольным, а его площадь достигает максимального значения $S_{max} = \frac{1}{2}ab \cdot 1 = \frac{1}{2}ab$.

Ответ: $90^\circ$.

85. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4.

Для решения задачи нам нужно найти радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник. Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. По условию задачи, катеты равны 3 и 4.

1. Находим гипотенузу.
Воспользуемся теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим известные значения катетов:
$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$c = \sqrt{25} = 5$
Таким образом, стороны треугольника равны 3, 4 и 5 (этот треугольник также известен как "египетский").

2. Находим радиус вписанной окружности.
Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно вычислить по специальной формуле:
$r = \frac{a + b - c}{2}$
где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.
Подставим значения сторон в эту формулу:
$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1

86. Найдите площадь трапеции, основания которой 12 см и 16 см, а высота 15 см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле, в которой используется полусумма ее оснований и высота. Формула имеет следующий вид: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — это длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

Согласно условию задачи, нам даны следующие величины:
- длина первого основания $a = 12$ см;
- длина второго основания $b = 16$ см;
- высота трапеции $h = 15$ см.

Теперь подставим эти значения в формулу для вычисления площади.
1. Сначала найдем сумму длин оснований: $a + b = 12 + 16 = 28$ см.
2. Далее найдем полусумму оснований (или длину средней линии трапеции): $\frac{a+b}{2} = \frac{28}{2} = 14$ см.
3. Наконец, умножим полученное значение на высоту: $S = 14 \cdot 15 = 210$ см².

Таким образом, площадь данной трапеции составляет 210 квадратных сантиметров.

Ответ: 210 см².

87. Средняя линия трапеции равна 3, высота равна 2. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции. Площадь трапеции $S$ вычисляется как произведение полусуммы ее оснований на высоту.

Формула площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме ее оснований: $m = \frac{a+b}{2}$.

Таким образом, формулу площади можно переписать, используя среднюю линию: $S = m \cdot h$.

В условии задачи даны следующие значения:
Средняя линия $m = 3$.
Высота $h = 2$.

Подставим эти значения в формулу для площади:
$S = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: 6

88. Основания трапеции равны $10\\text{ см}$ и $35\\text{ см}$, площадь равна $225\\text{ см}^2$. Найдите ее высоту.

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой ее площади:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $S$ – площадь, $a$ и $b$ – основания, а $h$ – высота.

По условию задачи нам даны:

- меньшее основание $a = 10$ см;
- большее основание $b = 35$ см;
- площадь $S = 225$ см².

Наша цель – найти высоту $h$.

Выразим высоту $h$ из формулы площади:

$h = \frac{2S}{a+b}$

Теперь подставим известные значения в эту формулу:

$h = \frac{2 \cdot 225}{10 + 35}$

Выполним вычисления:

$h = \frac{450}{45}$

$h = 10$ см

Ответ: 10 см.

89. Высота трапеции равна 20 см, площадь — 400 $cm^2$. Найдите среднюю линию трапеции.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции. Площадь трапеции $(S)$ равна произведению её высоты $(h)$ на полусумму оснований $(a \text{ и } b)$.

Формула площади трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Средняя линия трапеции $(m)$ по определению равна полусумме её оснований:

$m = \frac{a + b}{2}$

Мы можем заметить, что выражение для средней линии является частью формулы площади. Подставив $m$ в формулу площади, мы получим более простую формулу, связывающую площадь, высоту и среднюю линию:

$S = m \cdot h$

Из этой формулы мы можем выразить среднюю линию $m$:

$m = \frac{S}{h}$

Теперь подставим известные из условия значения: высота $h = 20$ см и площадь $S = 400$ см².

$m = \frac{400 \text{ см}^2}{20 \text{ см}} = 20 \text{ см}$

Ответ: 20 см.

90. Основания трапеции равны 36 см и 12 см, боковая сторона, равная 7 см, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

По условию задачи, основания трапеции равны $a = 36$ см и $b = 12$ см. Одна из боковых сторон равна $c = 7$ см. Для вычисления площади необходимо найти высоту трапеции $h$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. По условию, боковая сторона образует с одним из оснований угол $150^\circ$. Это тупой угол. Следовательно, угол при той же боковой стороне, но при другом основании, будет острым и равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Чтобы найти высоту трапеции, опустим перпендикуляр из вершины, образующей острый угол ($30^\circ$) с основанием, на это основание. Получится прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет боковая сторона ($c=7$ см), а катетом, противолежащим углу в $30^\circ$, — высота $h$.

Высоту можно найти по формуле $h = c \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между боковой стороной и основанием. Если мы используем острый угол, то $\alpha = 30^\circ$.
$h = 7 \cdot \sin(30^\circ) = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5$ см.

Стоит отметить, что если бы мы использовали тупой угол $150^\circ$, результат был бы тем же, так как $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Теперь, когда известны оба основания и высота, мы можем вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{36 + 12}{2} \cdot 3.5 = \frac{48}{2} \cdot 3.5 = 24 \cdot 3.5 = 84$ см².

Ответ: $84$ см².

91. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 3 см и 1 см, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.

Для нахождения площади трапеции используется формула: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота.

Из условия задачи мы знаем длины оснований: большее основание $a = 3$ см, меньшее основание $b = 1$ см. Нам необходимо найти высоту $h$.

Рассмотрим данную прямоугольную трапецию. Обозначим её вершины как $ABCD$, где $AD$ – большее основание, $BC$ – меньшее основание, а $AB$ – боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Таким образом, $AB$ является высотой трапеции, $h = AB$. Большая боковая сторона $CD$ образует с основанием $AD$ угол $45^\circ$, то есть $\angle ADC = 45^\circ$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Так как $ABCD$ – прямоугольная трапеция, а $CH$ – высота, то фигура $ABCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $CH = AB = h$ и $AH = BC = 1$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Один из его катетов, $CH$, равен высоте трапеции $h$. Длину второго катета, $HD$, можно найти как разность между длиной большего основания $AD$ и отрезка $AH$:$HD = AD - AH$.Поскольку $AH = BC$, то $HD = AD - BC = 3 - 1 = 2$ см.

В прямоугольном треугольнике $CHD$ нам известен угол $\angle CDH = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому второй острый угол $\angle HCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.Так как два угла в треугольнике $CHD$ равны, он является равнобедренным, а значит, его катеты равны: $CH = HD$.

Отсюда следует, что высота трапеции $h = CH = HD = 2$ см.

Теперь, зная оба основания и высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{3 + 1}{2} \cdot 2 = \frac{4}{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$ см².

Ответ: 4 см².

92. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие части.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $AD = a$ и $BC = b$. Пусть $h$ — высота трапеции.

Пусть точка $M$ — середина основания $BC$, а точка $N$ — середина основания $AD$. По определению середины отрезка имеем:

$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$

$AN = ND = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$

Отрезок $MN$ соединяет середины оснований и разделяет трапецию $ABCD$ на два четырехугольника: $ABMN$ и $MCDN$.

Рассмотрим четырехугольник $ABMN$. Так как основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), то их части $AN$ и $BM$ также параллельны ($AN \parallel BM$). Следовательно, $ABMN$ является трапецией с основаниями $AN$ и $BM$. Высота этой трапеции совпадает с высотой исходной трапеции и равна $h$.

Найдем площадь трапеции $ABMN$ по формуле площади трапеции $S = \frac{\text{сумма оснований}}{2} \cdot \text{высота}$:

$S_{ABMN} = \frac{AN + BM}{2} \cdot h = \frac{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}{2} \cdot h = \frac{a+b}{4}h$

Теперь рассмотрим четырехугольник $MCDN$. Аналогично, так как $AD \parallel BC$, то и $ND \parallel MC$. Следовательно, $MCDN$ также является трапецией с основаниями $ND$ и $MC$. Ее высота также равна $h$.

Найдем площадь трапеции $MCDN$:

$S_{MCDN} = \frac{ND + MC}{2} \cdot h = \frac{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}{2} \cdot h = \frac{a+b}{4}h$

Сравнивая площади двух полученных трапеций, видим, что они равны:

$S_{ABMN} = S_{MCDN} = \frac{a+b}{4}h$

Поскольку площади фигур равны, они являются равновеликими. Таким образом, отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие части.

Ответ: Что и требовалось доказать.

93. Найдите площадь правильного шестиугольника, стороны которого равны 1 см.

Для нахождения площади правильного шестиугольника можно использовать свойство, что он состоит из шести равных равносторонних треугольников, вершины которых сходятся в центре шестиугольника. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника.

По условию задачи, сторона правильного шестиугольника $a$ равна 1 см.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 1$ см, чтобы найти площадь одного из шести треугольников:

$S_{\triangle} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см²

Площадь всего правильного шестиугольника $S_{шест.}$ будет равна площади одного такого треугольника, умноженной на 6:

$S_{шест.} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см²

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см².

94. Диагонали выпуклого четырехугольника равны 6 и 8, угол между ними равен $30^\circ$. Найдите площадь этого четырехугольника.

Для нахождения площади выпуклого четырехугольника можно использовать формулу, которая связывает длины его диагоналей и угол между ними.

Площадь $S$ выпуклого четырехугольника вычисляется как половина произведения его диагоналей $d_1$ и $d_2$ на синус угла $\alpha$ между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

В данной задаче нам известны следующие величины:

Длина первой диагонали $d_1 = 6$.

Длина второй диагонали $d_2 = 8$.

Угол между диагоналями $\alpha = 30°$.

Подставим эти значения в формулу. Сначала найдем синус угла:

$\sin(30°) = \frac{1}{2}$

Теперь вычислим площадь четырехугольника:

$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sin(30°) = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \frac{1}{2}$

Выполним умножение:

$S = \frac{1}{2} \times 48 \times \frac{1}{2} = 24 \times \frac{1}{2} = 12$

Таким образом, площадь выпуклого четырехугольника равна 12.

Ответ: 12

95. Диагонали четырехугольника перпендикулярны и равны 4 см и 5 см. Найдите площадь этого четырехугольника.

Для нахождения площади выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, используется формула, согласно которой площадь равна половине произведения длин его диагоналей.

Обозначим длины диагоналей как $d_1$ и $d_2$. Формула для вычисления площади $S$ выглядит следующим образом:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

По условию задачи нам даны длины диагоналей четырехугольника:
$d_1 = 4$ см
$d_2 = 5$ см

Также в условии указано, что диагонали перпендикулярны, что является ключевым моментом для применения данной формулы.

Подставим известные значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5$

Выполним расчет:
$S = \frac{1}{2} \cdot 20$
$S = 10$

Поскольку исходные длины были даны в сантиметрах, площадь измеряется в квадратных сантиметрах.

Ответ: 10 см$^2$.

96. Диагонали выпуклого четырехугольника равны 8 и 10. Какую наибольшую площадь может иметь этот четырехугольник?

Площадь выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле через его диагонали $d_1$, $d_2$ и угол $\alpha$ между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

Согласно условию задачи, длины диагоналей равны $d_1 = 8$ и $d_2 = 10$. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin(\alpha) = 40 \sin(\alpha)$

Чтобы площадь $S$ была наибольшей, необходимо, чтобы множитель $\sin(\alpha)$ принимал свое максимальное значение. Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Так как угол $\alpha$ между диагоналями выпуклого четырехугольника может быть в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, то $\sin(\alpha)$ будет находиться в пределах от 0 до 1.

Максимальное значение $\sin(\alpha)$ равно 1, и оно достигается при $\alpha = 90^\circ$. Это означает, что четырехугольник будет иметь наибольшую площадь, когда его диагонали перпендикулярны.

Найдем максимальное значение площади, подставив $\sin(\alpha) = 1$ в нашу формулу:

$S_{max} = 40 \cdot 1 = 40$

Ответ: 40.

97. На координатной плоскости изобразите точки $A(2; 1)$, $B(1; 3)$, $C(4; 2)$, $D(-3; 2)$, $E(-2; -3)$, $F(3; -2)$.

Для того чтобы изобразить точки на координатной плоскости, используется прямоугольная (декартова) система координат. Эта система состоит из двух перпендикулярных числовых прямых, называемых осями координат. Горизонтальная ось называется осью абсцисс (ось $Ox$), а вертикальная — осью ординат (ось $Oy$). Точка их пересечения $O(0; 0)$ называется началом координат.

Каждая точка на плоскости задается парой чисел $(x; y)$, где $x$ — это абсцисса (горизонтальная координата), а $y$ — ордината (вертикальная координата). Чтобы отметить точку $M(x; y)$, нужно от начала координат отложить $x$ единиц по оси $Ox$ (вправо, если $x > 0$, и влево, если $x < 0$) и $y$ единиц по оси $Oy$ (вверх, если $y > 0$, и вниз, если $y < 0$).

Изобразим заданные точки в соответствии с их координатами:

Точка A(2; 1): Абсцисса $x=2$, ордината $y=1$. От начала координат двигаемся на 2 единицы вправо по оси $Ox$ и на 1 единицу вверх параллельно оси $Oy$.

Точка B(1; 3): Абсцисса $x=1$, ордината $y=3$. От начала координат двигаемся на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и на 3 единицы вверх параллельно оси $Oy$.

Точка C(4; 2): Абсцисса $x=4$, ордината $y=2$. От начала координат двигаемся на 4 единицы вправо по оси $Ox$ и на 2 единицы вверх параллельно оси $Oy$.

Точка D(-3; 2): Абсцисса $x=-3$, ордината $y=2$. От начала координат двигаемся на 3 единицы влево по оси $Ox$ и на 2 единицы вверх параллельно оси $Oy$.

Точка E(-2; -3): Абсцисса $x=-2$, ордината $y=-3$. От начала координат двигаемся на 2 единицы влево по оси $Ox$ и на 3 единицы вниз параллельно оси $Oy$.

Точка F(3; -2): Абсцисса $x=3$, ордината $y=-2$. От начала координат двигаемся на 3 единицы вправо по оси $Ox$ и на 2 единицы вниз параллельно оси $Oy$.

Ниже представлено изображение координатной плоскости с отмеченными точками.

Ответ:

Графическое изображение точек A(2; 1), B(1; 3), C(4; 2), D(-3; 2), E(-2; -3), F(3; -2) на координатной плоскости представлено выше.

98. Точки $O(0; 0)$, $A(6; 2)$, $B$ и $C(0; 6)$ являются последовательными вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки $B$.

Пусть искомая вершина B имеет координаты $(x_B; y_B)$. В условии сказано, что точки O(0; 0), A(6; 2), B и C(0; 6) являются последовательными вершинами параллелограмма. Обозначим этот параллелограмм как OABC.

Для решения задачи можно использовать свойство векторов в параллелограмме или свойство его диагоналей. Воспользуемся свойством диагоналей: диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это значит, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали OB.

1. Найдем координаты середины диагонали AC. Обозначим эту точку как M. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_M = \frac{x_A + x_C}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_C}{2}$.

Подставим известные координаты точек A(6; 2) и C(0; 6): $x_M = \frac{6 + 0}{2} = 3$
$y_M = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Таким образом, точка M имеет координаты (3; 4).

2. Теперь найдем координаты середины диагонали OB. Эта точка также является точкой M. $x_M = \frac{x_O + x_B}{2}$ и $y_M = \frac{y_O + y_B}{2}$.

Подставим известные координаты точки O(0; 0) и неизвестные координаты точки B($x_B; y_B$): $x_M = \frac{0 + x_B}{2} = \frac{x_B}{2}$
$y_M = \frac{0 + y_B}{2} = \frac{y_B}{2}$

3. Поскольку точка M является серединой обеих диагоналей, мы можем приравнять выражения для ее координат, полученные в шагах 1 и 2: $\frac{x_B}{2} = 3$
$\frac{y_B}{2} = 4$

Решая эти простые уравнения, находим координаты точки B: $x_B = 3 \cdot 2 = 6$
$y_B = 4 \cdot 2 = 8$
Следовательно, вершина B имеет координаты (6; 8).

Проверка с помощью векторов: В параллелограмме OABC вектор $\vec{OA}$ должен быть равен вектору $\vec{CB}$.
Координаты вектора $\vec{OA} = (6 - 0; 2 - 0) = (6; 2)$.
Координаты вектора $\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (x_B - 0; y_B - 6) = (x_B; y_B - 6)$.
Приравнивая координаты векторов: $x_B = 6$ и $y_B - 6 = 2$, откуда $y_B = 8$. Результат совпадает.

Ответ: B(6; 8).

99. Найдите координаты середины отрезка $AB$, если:

а) $A(1; -2)$, $B(5; 6)$

б) $A(-3; 4)$, $B(1; 2)$

в) $A(5; 7)$, $B(-3; -5)$

Для нахождения координат середины отрезка, если известны координаты его концов $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, используются формулы, по которым каждая координата середины вычисляется как среднее арифметическое соответствующих координат концов. Если $C(x_c; y_c)$ – середина отрезка $AB$, то ее координаты вычисляются так:

$x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$

а) Даны точки $A(1; -2)$ и $B(5; 6)$.

Подставляем координаты этих точек в формулы:

Координата $x$ середины отрезка: $x_c = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Координата $y$ середины отрезка: $y_c = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Таким образом, координаты середины отрезка AB – $(3; 2)$.

Ответ: (3; 2)

б) Даны точки $A(-3; 4)$ и $B(1; 2)$.

Подставляем координаты этих точек в формулы:

Координата $x$ середины отрезка: $x_c = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Координата $y$ середины отрезка: $y_c = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Таким образом, координаты середины отрезка AB – $(-1; 3)$.

Ответ: (-1; 3)

в) Даны точки $A(5; 7)$ и $B(-3; -5)$.

Подставляем координаты этих точек в формулы:

Координата $x$ середины отрезка: $x_c = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Координата $y$ середины отрезка: $y_c = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Таким образом, координаты середины отрезка AB – $(1; 1)$.

Ответ: (1; 1)

100. Найдите расстояние между точками:

a) $A_1(1; 2)$ и $A_2(-1; 1)$;

б) $B_1(3; 4)$ и $B_2(3; -1)$.

Для нахождения расстояния $d$ между двумя точками на плоскости с координатами $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$ используется формула, которая является следствием теоремы Пифагора:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Применим эту формулу для решения поставленной задачи.

а) Найдем расстояние между точками $A_1(1; 2)$ и $A_2(-1; 1)$.
Координаты первой точки: $x_1 = 1$, $y_1 = 2$.
Координаты второй точки: $x_2 = -1$, $y_2 = 1$.
Подставляем эти значения в формулу:
$d = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$.

б) Найдем расстояние между точками $B_1(3; 4)$ и $B_2(3; -1)$.
Координаты первой точки: $x_1 = 3$, $y_1 = 4$.
Координаты второй точки: $x_2 = 3$, $y_2 = -1$.
Подставляем эти значения в формулу:
$d = \sqrt{(3 - 3)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{0 + 25} = \sqrt{25} = 5$.
Примечание: так как у этих точек абсциссы (координаты $x$) совпадают, они лежат на одной вертикальной прямой $x=3$. В таком частном случае расстояние между ними можно найти проще, как модуль разности их ординат (координат $y$): $d = |y_2 - y_1| = |-1 - 4| = |-5| = 5$.
Ответ: $5$.

101. Найдите координаты центра C и радиус R окружности, заданной уравнением:

a) $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$;

б) $x^2 + (y - 6)^2 = 16$.

Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, нужно привести ее уравнение к каноническому виду. Каноническое уравнение окружности с центром в точке $C(a, b)$ и радиусом $R$ выглядит следующим образом:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
Здесь $a$ и $b$ — это координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

а) Рассматриваем уравнение $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$.
Сравним данное уравнение с канонической формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Член $(x - 2)^2$ соответствует $(x - a)^2$, откуда $a = 2$.
Член $(y + 5)^2$ можно переписать как $(y - (-5))^2$, что соответствует $(y - b)^2$, откуда $b = -5$.
Таким образом, координаты центра окружности $C$ равны $(2, -5)$.
Правая часть уравнения равна 9, что соответствует $R^2$. То есть, $R^2 = 9$.
Радиус $R$ — это положительный квадратный корень из $R^2$: $R = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: Координаты центра $C(2, -5)$, радиус $R = 3$.

б) Рассматриваем уравнение $x^2 + (y - 6)^2 = 16$.
Сравним данное уравнение с канонической формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Член $x^2$ можно представить как $(x - 0)^2$, что соответствует $(x - a)^2$, откуда $a = 0$.
Член $(y - 6)^2$ соответствует $(y - b)^2$, откуда $b = 6$.
Таким образом, координаты центра окружности $C$ равны $(0, 6)$.
Правая часть уравнения равна 16, что соответствует $R^2$. То есть, $R^2 = 16$.
Радиус $R$ равен квадратному корню из $16$: $R = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: Координаты центра $C(0, 6)$, радиус $R = 4$.