Страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Найдите периметр квадрата, две противолежащие вершины которого имеют координаты $(4; 4)$ и $(8; 4):$

A. 16.

B. $4\sqrt{2}$.

C. $4\sqrt{5}$.

D. $8\sqrt{2}$.

Пусть даны две противолежащие вершины квадрата A и C с координатами A(4; 4) и C(8; 4). Расстояние между этими вершинами равно длине диагонали квадрата, которую обозначим как d.

Найдем длину диагонали, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на координатной плоскости: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Подставим координаты вершин A и C в эту формулу:

$d = \sqrt{(8 - 4)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Таким образом, длина диагонали квадрата равна 4.

Диагональ квадрата d связана с его стороной a соотношением $d = a\sqrt{2}$. Это соотношение следует из теоремы Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, образованному двумя сторонами и диагональю квадрата ($a^2 + a^2 = d^2$).

Из этого соотношения выразим сторону квадрата a:

$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Подставим найденное значение диагонали d = 4:

$a = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Итак, длина стороны квадрата равна $2\sqrt{2}$.

Периметр квадрата P вычисляется по формуле $P = 4a$. Найдем периметр:

$P = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

Ответ: $8\sqrt{2}$.

12. Найдите уравнение прямой, проходящей через точки A(2; 0), B(0; 3):

A. $2x + 3y = 9$.

B. $3x + 2y = 6$.

C. $2x - 3y = 9$.

D. $3x - 2y = 6$.

Для решения задачи можно использовать два основных подхода: составить уравнение прямой по двум заданным точкам или проверить предложенные варианты, подставив в них координаты точек.

Способ 1: Составление уравнения прямой по двум точкам

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$), записывается формулой:

$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

Подставим в эту формулу координаты заданных точек A(2; 0) и B(0; 3). Примем $x_1 = 2$, $y_1 = 0$, $x_2 = 0$ и $y_2 = 3$:

$ \frac{x - 2}{0 - 2} = \frac{y - 0}{3 - 0} $

Упростим знаменатели:

$ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y}{3} $

Теперь воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест), чтобы избавиться от дробей:

$ 3(x - 2) = -2y $

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$ 3x - 6 = -2y $

Перенесем слагаемые, чтобы привести уравнение к общему виду $Ax + By = C$, как в вариантах ответа:

$ 3x + 2y = 6 $

Полученное уравнение совпадает с вариантом B.

Ответ: B. $3x + 2y = 6$.

Способ 2: Проверка предложенных вариантов методом подстановки

Если прямая проходит через точку, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой. Проверим каждый вариант, подставляя в него поочередно координаты точек A(2; 0) и B(0; 3).

A. $2x + 3y = 9$

Для A(2; 0): $2(2) + 3(0) = 4 + 0 = 4$. Так как $4 \neq 9$, уравнение неверно.

B. $3x + 2y = 6$

Для A(2; 0): $3(2) + 2(0) = 6 + 0 = 6$. Равенство $6=6$ верно.

Для B(0; 3): $3(0) + 2(3) = 0 + 6 = 6$. Равенство $6=6$ верно.

Обе точки лежат на этой прямой, значит, это правильный ответ.

C. $2x - 3y = 9$

Для A(2; 0): $2(2) - 3(0) = 4 - 0 = 4$. Так как $4 \neq 9$, уравнение неверно.

D. $3x - 2y = 6$

Для A(2; 0): $3(2) - 2(0) = 6 - 0 = 6$. Равенство $6=6$ верно.

Для B(0; 3): $3(0) - 2(3) = 0 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq 6$, уравнение неверно.

Единственное уравнение, которому удовлетворяют координаты обеих точек, — это уравнение из варианта B.

Ответ: B. $3x + 2y = 6$.

13. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку $A(2; 1)$, и параллельную прямую $y = 2x$:

A. $x - 2y = 1$.

B. $2x + y = 3$.

C. $2x - y = 3$.

D. $x + 2y = 4$.

Для решения задачи необходимо найти уравнение прямой, которое удовлетворяет двум условиям:

1. Прямая должна быть параллельна прямой $y = 2x$. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты ($k$) равны. Уравнение $y = 2x$ представлено в виде $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=2$. Следовательно, у искомой прямой угловой коэффициент также должен быть равен 2.

2. Прямая должна проходить через точку A(2; 1). Это значит, что координаты точки A должны удовлетворять уравнению прямой, то есть при подстановке $x=2$ и $y=1$ в уравнение должно получиться верное равенство.

Проверим каждый из предложенных вариантов на соответствие этим двум условиям.

A. $x - 2y = 1$

Выразим $y$ из уравнения, чтобы найти его угловой коэффициент:
$ -2y = -x + 1 $
$ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} $
Угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \neq 2$, эта прямая не параллельна прямой $y=2x$. Вариант не подходит.

B. $2x + y = 3$

Выразим $y$ из уравнения:
$ y = -2x + 3 $
Угловой коэффициент $k = -2$. Так как $-2 \neq 2$, эта прямая не параллельна прямой $y=2x$. Вариант не подходит.

C. $2x - y = 3$

Выразим $y$ из уравнения:
$ -y = -2x + 3 $
$ y = 2x - 3 $
Угловой коэффициент $k = 2$. Условие параллельности выполнено.
Теперь проверим, проходит ли эта прямая через точку A(2; 1). Подставим $x=2$ и $y=1$ в исходное уравнение $2x - y = 3$:
$ 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 $
$ 3 = 3 $
Равенство верное, значит, точка лежит на прямой. Оба условия выполнены. Этот вариант является правильным решением.

D. $x + 2y = 4$

Выразим $y$ из уравнения:
$ 2y = -x + 4 $
$ y = -\frac{1}{2}x + 2 $
Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. Так как $-\frac{1}{2} \neq 2$, эта прямая не параллельна прямой $y=2x$. Вариант не подходит.

Таким образом, единственное уравнение, удовлетворяющее условиям задачи, это $2x - y = 3$.

Ответ: C. $2x - y = 3$.

14. Найдите уравнение окружности с центром в точке $C(-2; 7)$, проходящей через начало координат:

A. $x^2 + y^2 = 9$.

B. $(x - 2)^2 + (y + 7)^2 = 9$.

C. $(x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 53$.

D. $x^2 + y^2 = \sqrt{53}$.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a; b)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

По условию задачи, центр окружности находится в точке $C(-2; 7)$. Следовательно, для нашего уравнения $a = -2$ и $b = 7$. Подставив эти значения в стандартную формулу, получаем:$(x - (-2))^2 + (y - 7)^2 = r^2$$(x + 2)^2 + (y - 7)^2 = r^2$

Известно, что окружность проходит через начало координат, то есть через точку $O(0; 0)$. Радиус окружности $r$ равен расстоянию от центра $C(-2; 7)$ до точки $O(0; 0)$, лежащей на окружности.

Для уравнения окружности нам нужен квадрат радиуса, $r^2$. Вычислим его, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.$r^2 = (0 - (-2))^2 + (0 - 7)^2$$r^2 = (2)^2 + (-7)^2$$r^2 = 4 + 49$$r^2 = 53$

Теперь подставим найденное значение $r^2 = 53$ в уравнение окружности, которое мы начали составлять:$(x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 53$.

Полученное уравнение полностью совпадает с вариантом ответа C.

Ответ: C. $(x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 53$.

15. Найдите координаты центра окружности, заданной уравнением

$x^2 + y^2 - 12y + 4x = -15:$

A. (2; -6).

B. (-2; 6).

C. (6; -2).

D. (-6; 2).

Чтобы найти координаты центра окружности, необходимо привести заданное уравнение к каноническому виду. Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $r$ имеет следующий вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Исходное уравнение дано в развернутом виде:

$x^2 + y^2 - 12y + 4x = -15$

Для приведения к каноническому виду сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 12y) = -15$

Теперь необходимо дополнить каждую группу до полного квадрата. Это делается с помощью формул сокращенного умножения: $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$ и $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$.

1. Для группы с $x$: $(x^2 + 4x)$. Здесь $x^2$ - это квадрат первого слагаемого ($m^2$), а $4x$ - это удвоенное произведение первого на второе ($2mn$). Значит, $m=x$, а $2xn = 4x$, откуда $n=2$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $n^2 = 2^2 = 4$.

$(x^2 + 4x + 4) = (x + 2)^2$

2. Для группы с $y$: $(y^2 - 12y)$. Здесь $y^2$ - это квадрат первого слагаемого ($m^2$), а $-12y$ - это удвоенное произведение первого на второе ($-2mn$). Значит, $m=y$, а $-2yn = -12y$, откуда $n=6$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $n^2 = 6^2 = 36$.

$(y^2 - 12y + 36) = (y - 6)^2$

Чтобы равенство не нарушилось, добавим эти же числа (4 и 36) к правой части исходного уравнения:

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 12y + 36) = -15 + 4 + 36$

Теперь заменим выражения в скобках на соответствующие им полные квадраты и вычислим значение в правой части:

$(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 25$

Сравним полученное уравнение с каноническим видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Для наглядности перепишем наше уравнение:

$(x - (-2))^2 + (y - 6)^2 = 5^2$

Отсюда видно, что координаты центра окружности $(a, b)$ равны $(-2, 6)$. Радиус окружности $r$ равен 5.

Ответ: Координаты центра окружности: (-2; 6).

16. Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке $P(8; 6)$, чтобы она касалась оси ординат:

А. 3.

В. 4.

С. 6.

D. 8?

По условию, центр окружности находится в точке $P(8; 6)$. Окружность должна касаться оси ординат (оси OY).

Касание окружности и прямой означает, что они имеют ровно одну общую точку. Расстояние от центра окружности до прямой, которой она касается, равно радиусу ($R$) этой окружности.

Ось ординат — это вертикальная прямая, заданная уравнением $x = 0$.

Расстояние от точки с координатами $(x_c; y_c)$ до вертикальной прямой $x = 0$ равно модулю ее абсциссы, то есть $|x_c|$. Для центра окружности $P(8; 6)$ абсцисса $x_c = 8$.

Следовательно, радиус окружности равен расстоянию от ее центра до оси ординат:

$R = |8| = 8$.

Таким образом, чтобы окружность с центром в точке $P(8; 6)$ касалась оси ординат, ее радиус должен быть равен 8.

Ответ: D. 8

17. Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке $P(4; 3)$, чтобы она касалась внешним образом окружности с центром в начале координат и радиусом 2:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4?

Для того чтобы две окружности касались внешним образом, расстояние между их центрами должно быть равно сумме их радиусов.

Пусть первая окружность (искомая) имеет центр в точке $C_1(4, 3)$ и радиус $r_1$. Вторая окружность (заданная) имеет центр в начале координат, то есть в точке $C_2(0, 0)$, и ее радиус $r_2 = 2$.

Сначала найдем расстояние $d$ между центрами $C_1$ и $C_2$, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставив координаты центров $C_1(4, 3)$ и $C_2(0, 0)$, получим:

$d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Расстояние между центрами окружностей равно 5.

Теперь воспользуемся условием внешнего касания: $d = r_1 + r_2$.

Подставим известные значения $d = 5$ и $r_2 = 2$ в это уравнение:

$5 = r_1 + 2$

Решим это уравнение относительно $r_1$:

$r_1 = 5 - 2 = 3$.

Таким образом, радиус искомой окружности должен быть равен 3.

Ответ: 3.

18. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек $E(1; 2)$ и $F(3; 4):$

A. $(2; 1).$

B. $(-2; 0).$

C. $(0; 2).$

D. $(0; 5).$

Чтобы найти точку на оси ординат, равноудаленную от точек $E(1; 2)$ и $F(3; 4)$, нужно выполнить следующие шаги.

1. Обозначим искомую точку как $M$. Поскольку точка $M$ лежит на оси ординат, ее абсцисса (координата $x$) равна 0. Таким образом, координаты точки $M$ можно записать как $(0; y)$.

2. Условие "равноудаленная" означает, что расстояние от точки $M$ до точки $E$ равно расстоянию от точки $M$ до точки $F$. Математически это выражается как $ME = MF$. Чтобы упростить вычисления и избежать работы с квадратными корнями, удобнее работать с квадратами расстояний: $ME^2 = MF^2$.

3. Используем формулу для вычисления квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

4. Найдем квадрат расстояния $ME^2$ между точками $M(0; y)$ и $E(1; 2)$:
$ME^2 = (1 - 0)^2 + (2 - y)^2 = 1^2 + (4 - 4y + y^2) = 1 + 4 - 4y + y^2 = 5 - 4y + y^2$.

5. Найдем квадрат расстояния $MF^2$ между точками $M(0; y)$ и $F(3; 4)$:
$MF^2 = (3 - 0)^2 + (4 - y)^2 = 3^2 + (16 - 8y + y^2) = 9 + 16 - 8y + y^2 = 25 - 8y + y^2$.

6. Приравняем полученные выражения для $ME^2$ и $MF^2$ и решим получившееся уравнение относительно $y$:
$5 - 4y + y^2 = 25 - 8y + y^2$
Члены $y^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:
$5 - 4y = 25 - 8y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые значения — в правую:
$8y - 4y = 25 - 5$
$4y = 20$
$y = \frac{20}{4}$
$y = 5$.

7. Таким образом, ордината искомой точки равна 5. Координаты точки $M$ — $(0; 5)$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту D.

Ответ: D. (0; 5).

19. Определите вид треугольника $ABC$, если $A(0; -2)$, $B(-2; 0)$, $C(2; 2)$:

A. Прямоугольный.

B. Равнобедренный.

C. Равносторонний.

D. Произвольный.

Чтобы определить вид треугольника ABC, необходимо найти длины его сторон, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты вершин треугольника: $A(0; -2)$, $B(-2; 0)$, $C(2; 2)$.

1. Вычислим длину стороны AB:

$AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.

2. Вычислим длину стороны BC:

$BC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(2 + 2)^2 + 2^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

3. Вычислим длину стороны AC:

$AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.

Итак, мы получили длины сторон: $AB = \sqrt{8}$, $BC = \sqrt{20}$, $AC = \sqrt{20}$. Теперь проанализируем предложенные варианты.

A. Прямоугольный.

Чтобы треугольник был прямоугольным, для него должна выполняться теорема Пифагора: квадрат гипотенузы (наибольшей стороны) равен сумме квадратов катетов. Квадраты длин сторон: $AB^2 = 8$, $BC^2 = 20$, $AC^2 = 20$. Проверим равенство для возможных комбинаций: $8 + 20 \neq 20$. Теорема Пифагора не выполняется, следовательно, треугольник не является прямоугольным.

B. Равнобедренный.

Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны по длине. В нашем случае $BC = AC = \sqrt{20}$. Это условие выполняется, значит, треугольник ABC является равнобедренным.

C. Равносторонний.

Треугольник является равносторонним, если все три его стороны равны. У нас $AB \neq BC$ (поскольку $\sqrt{8} \neq \sqrt{20}$), поэтому треугольник не является равносторонним.

D. Произвольный.

Произвольный (или разносторонний) треугольник имеет все стороны разной длины. Так как у нашего треугольника две стороны равны, он не является произвольным.

Таким образом, единственной верной характеристикой для треугольника ABC из предложенных является то, что он равнобедренный.

Ответ: B. Равнобедренный.

20. Определите вид четырехугольника $OBCD$, если $O(0; 0)$, $B(4; 2)$, $C(6; 6)$, $D(2; 4)$:

А. Прямоугольник.

В. Квадрат.

С. Ромб.

D. Трапеция.

Для определения вида четырехугольника OBCD с вершинами в точках O(0; 0), B(4; 2), C(6; 6) и D(2; 4), проанализируем его свойства: длины сторон, параллельность сторон и свойства диагоналей.

1. Вычисление длин сторон
Используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
- Длина стороны OB: $OB = \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
- Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(6-4)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.
- Длина стороны CD: $CD = \sqrt{(2-6)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
- Длина стороны DO: $DO = \sqrt{(0-2)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.
Поскольку все четыре стороны четырехугольника равны ($OB = BC = CD = DO = \sqrt{20}$), данная фигура является ромбом или квадратом.

2. Проверка углов и диагоналей
Чтобы отличить ромб от квадрата, нужно проверить, являются ли углы прямыми. Это можно сделать двумя способами: проверить перпендикулярность смежных сторон или сравнить длины диагоналей (в квадрате они равны, в ромбе — нет).

Способ А: Сравнение длин диагоналей
- Длина диагонали OC: $OC = \sqrt{(6-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
- Длина диагонали BD: $BD = \sqrt{(2-4)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Так как длины диагоналей не равны ($OC \neq BD$), углы четырехугольника не прямые, следовательно, это не квадрат.

Способ Б: Проверка перпендикулярности смежных сторон
Проверим, перпендикулярны ли стороны OB и BC, вычислив скалярное произведение соответствующих векторов $\vec{OB}$ и $\vec{BC}$.
$\vec{OB} = (4-0, 2-0) = (4, 2)$
$\vec{BC} = (6-4, 6-2) = (2, 4)$
Скалярное произведение: $\vec{OB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 8 + 8 = 16$.
Поскольку скалярное произведение не равно нулю, угол между сторонами OB и BC не является прямым. Это также подтверждает, что фигура не является квадратом.

Вывод:
Четырехугольник OBCD имеет все стороны равной длины, но его углы не являются прямыми. Такое определение соответствует ромбу.

Ответ: C. Ромб.