Страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. На прямой, перпендикулярной оси абсцисс, взяты две точки.

У одной абсцисса равна $-2$. Чему равна абсцисса другой точки:

A. $2$. B. $0$.

C. $-2$. D. Нельзя определить?

В декартовой системе координат ось абсцисс — это ось $x$. Прямая, перпендикулярная оси абсцисс, является вертикальной линией. Все точки, лежащие на одной вертикальной прямой, имеют одинаковую абсциссу (координату $x$). Уравнение такой прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — постоянное число.

По условию, на такой прямой взяты две точки. Абсцисса одной из них равна $-2$. Это означает, что все точки на этой прямой, включая и первую, и вторую, имеют абсциссу, равную $-2$. Таким образом, уравнение этой прямой — $x = -2$.

Следовательно, абсцисса другой точки, которая также лежит на этой прямой, тоже будет равна $-2$.

Ответ: C. $-2$.

2. На прямой, параллельной оси ординат, взяты две точки. Абсцисса одной из них равна 5. Чему равна абсцисса другой точки:

A. $5$.

B. $0$.

C. $-5$.

D. Нельзя определить?

В декартовой системе координат ось ординат – это вертикальная ось y, а абсцисса точки – это её координата по оси x.

Прямая, параллельная оси ординат (оси y), является вертикальной прямой. Ключевое свойство такой прямой заключается в том, что все точки, которые на ней лежат, имеют одну и ту же абсциссу. Уравнение любой вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где c – это константа, равная абсциссе каждой точки на этой прямой.

Согласно условию, на такой прямой находятся две точки. Абсцисса одной из этих точек равна 5. Это означает, что эта точка лежит на прямой, заданной уравнением $x = 5$.

Поскольку вторая точка принадлежит той же самой прямой, её абсцисса также должна быть равна 5. Ординаты этих точек могут быть различными, но их абсциссы обязаны совпадать.

Ответ: A. 5.

3. Из точки $A(-1; 8)$ опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите координаты его основания:

A. $(-1; 0)$.

B. $(0; 8)$.

C. $(1; 0)$.

D. $(0; -8)$.

В задаче дана точка $A$ с координатами $(-1; 8)$. Необходимо найти координаты основания перпендикуляра, который опущен из этой точки на ось абсцисс.

Ось абсцисс – это ось $Ox$. Характерным свойством любой точки, лежащей на оси абсцисс, является то, что её вторая координата (ордината) равна нулю.

Основание перпендикуляра, опущенного из точки $A(x_A; y_A)$ на ось абсцисс, является точкой проекции точки $A$ на эту ось. При проецировании на ось $Ox$ абсцисса (координата $x$) точки сохраняется, а ордината (координата $y$) становится равной нулю.

У точки $A(-1; 8)$ абсцисса равна $-1$, а ордината равна $8$.

Следовательно, основание перпендикуляра будет иметь абсциссу, равную $-1$, и ординату, равную $0$. Координаты этой точки — $(-1; 0)$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов:

A. (-1; 0). Этот вариант является верным. Координаты соответствуют основанию перпендикуляра, опущенного из точки $A(-1; 8)$ на ось абсцисс.

B. (0; 8). Эта точка является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A(-1; 8)$ на ось ординат (ось $Oy$), так как у нее абсцисса равна $0$, а ордината сохранена.

C. (1; 0). У этой точки неверная абсцисса. Абсцисса должна быть $-1$, а не $1$.

D. (0; -8). У этой точки обе координаты неверны.

Ответ: (-1; 0).

4. Через точку $B(5; -4)$ проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты ее точки пересечения с осью ординат:

A. $(5; 0)$.

B. $(-5; 0)$.

C. $(0; -4)$.

D. $(0; 4)$.

По условию задачи дана точка $B(5; -4)$, через которую проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Ось абсцисс — это горизонтальная ось $Ox$ в декартовой системе координат.

Прямая, параллельная оси абсцисс, является горизонтальной линией. Главное свойство такой прямой заключается в том, что все ее точки имеют одну и ту же ординату (координату $y$). Общее уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — некоторая константа.

Так как наша прямая проходит через точку $B(5; -4)$, то ее ордината должна быть такой же, как у точки $B$. Ордината точки $B$ равна $-4$. Следовательно, уравнение нашей прямой — это $y = -4$.

Далее необходимо найти координаты точки пересечения этой прямой с осью ординат. Ось ординат — это вертикальная ось $Oy$. Любая точка, которая лежит на оси ординат, имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю.

Точка пересечения принадлежит одновременно и нашей прямой ($y = -4$), и оси ординат (где $x=0$). Следовательно, для нахождения ее координат нужно объединить эти два условия.

Координата $x$ точки пересечения должна быть равна $0$.
Координата $y$ точки пересечения должна быть равна $-4$.

Таким образом, искомая точка пересечения имеет координаты $(0; -4)$.

Ответ: (0; -4).

5. Точки $O(0; 0)$, $A(x; y)$, $B(6; 8)$ и $C(0; 6)$ являются вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки $A$:

A. $(2; 6)$.

B. $(2; 8)$.

C. $(6; 2)$.

D. $(6; 0)$.

Для нахождения координат точки A воспользуемся одним из ключевых свойств параллелограмма: его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что середины диагоналей совпадают. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляются по формулам: $x_m = \frac{x_1+x_2}{2}$, $y_m = \frac{y_1+y_2}{2}$.

Заданные точки O(0; 0), A(x; y), B(6; 8) и C(0; 6) могут образовывать параллелограмм тремя различными способами, в зависимости от порядка следования вершин. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Параллелограмм OABC
В этом случае вершины расположены в порядке O, A, B, C. Диагоналями являются отрезки, соединяющие противолежащие вершины: OB и AC.
Найдем координаты середины диагонали OB:$M_{OB} = (\frac{0 + 6}{2}; \frac{0 + 8}{2}) = (3; 4)$.
Найдем координаты середины диагонали AC:$M_{AC} = (\frac{x + 0}{2}; \frac{y + 6}{2}) = (\frac{x}{2}; \frac{y+6}{2})$.
Так как середины диагоналей должны совпадать, приравниваем их координаты:
$\frac{x}{2} = 3 \implies x = 6$
$\frac{y+6}{2} = 4 \implies y + 6 = 8 \implies y = 2$
Таким образом, координаты точки A: $(6; 2)$. Этот вариант соответствует варианту ответа C.

Случай 2: Параллелограмм OACB
В этом случае вершины расположены в порядке O, A, C, B. Диагоналями являются отрезки OC и AB.
Найдем координаты середины диагонали OC:$M_{OC} = (\frac{0 + 0}{2}; \frac{0 + 6}{2}) = (0; 3)$.
Найдем координаты середины диагонали AB:$M_{AB} = (\frac{x + 6}{2}; \frac{y + 8}{2})$.
Приравниваем координаты середин:
$\frac{x+6}{2} = 0 \implies x + 6 = 0 \implies x = -6$
$\frac{y+8}{2} = 3 \implies y + 8 = 6 \implies y = -2$
Координаты точки A в этом случае: $(-6; -2)$. Такого варианта ответа нет.

Случай 3: Параллелограмм OBAC
В этом случае вершины расположены в порядке O, B, A, C. Диагоналями являются отрезки OA и BC.
Найдем координаты середины диагонали BC:$M_{BC} = (\frac{6 + 0}{2}; \frac{8 + 6}{2}) = (3; 7)$.
Найдем координаты середины диагонали OA:$M_{OA} = (\frac{0 + x}{2}; \frac{0 + y}{2}) = (\frac{x}{2}; \frac{y}{2})$.
Приравниваем координаты середин:
$\frac{x}{2} = 3 \implies x = 6$
$\frac{y}{2} = 7 \implies y = 14$
Координаты точки A в этом случае: $(6; 14)$. Такого варианта ответа нет.

Проанализировав все три возможных варианта, мы видим, что только один из них приводит к результату, который есть среди предложенных вариантов ответа. Это случай, когда точки образуют параллелограмм OABC, и искомые координаты точки A равны $(6; 2)$.
Ответ: (6; 2).

6. Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями $3x + 2y = 14$ и $y = 2x$:

A. (1; 2).

B. (2; 4).

C. (3; 6).

D. (4; 8).

Для того чтобы найти координаты точки пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений, задающих эти прямые. Точка пересечения — это точка, координаты которой $(x; y)$ удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Запишем систему уравнений:$$\begin{cases}3x + 2y = 14 \\y = 2x\end{cases}$$

Наиболее простым способом решения данной системы является метод подстановки. Так как второе уравнение уже выражает переменную $y$ через $x$, подставим это выражение ($2x$) вместо $y$ в первое уравнение:

$3x + 2(2x) = 14$

Теперь решим полученное линейное уравнение с одной переменной $x$:

$3x + 4x = 14$

$7x = 14$

$x = \frac{14}{7}$

$x = 2$

Мы нашли абсциссу точки пересечения. Для нахождения ординаты ($y$) подставим найденное значение $x=2$ в любое из уравнений системы. Удобнее использовать второе уравнение $y = 2x$:

$y = 2 \cdot 2$

$y = 4$

Следовательно, координаты точки пересечения прямых — (2; 4).

Для уверенности можно выполнить проверку, подставив найденные координаты в первое уравнение:

$3(2) + 2(4) = 6 + 8 = 14$

$14 = 14$

Равенство верное, значит, решение найдено правильно. Среди предложенных вариантов ответа этому решению соответствует вариант B.

Ответ: (2; 4).

7. Найдите координаты середины отрезка $CD$, если $C(0; -9)$ и $D(-5; 16):$

A. $(0; -3,5).$ B. $(-2,5; 3,5).$ C. $(-5; -7).$ D. $(-2,5; -3,5).$

Чтобы найти координаты середины отрезка, нужно найти среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть M$(x_m; y_m)$ — искомая середина отрезка CD.

Координаты концов отрезка заданы как C(0; -9) и D(-5; 16). Обозначим их как $(x_c; y_c)$ и $(x_d; y_d)$ соответственно.

Формулы для вычисления координат середины отрезка:

$x_m = \frac{x_c + x_d}{2}$

$y_m = \frac{y_c + y_d}{2}$

Подставим известные значения в эти формулы.

Вычислим абсциссу (координату x) середины отрезка:

$x_m = \frac{0 + (-5)}{2} = \frac{-5}{2} = -2,5$

Вычислим ординату (координату y) середины отрезка:

$y_m = \frac{-9 + 16}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$

Таким образом, координаты середины отрезка CD равны (-2,5; 3,5).

Среди предложенных вариантов ответа этот результат соответствует варианту B.

Ответ: B. (-2,5; 3,5).

8. Точки $O(0; 0)$, $A(10; 8)$, $B(8; 2)$, $C(2; 6)$ являются вершинами четырехугольника. Найдите координаты точки $P$ пересечения его диагоналей:

A. $(5; 4).$

B. $(4; 5).$

C. $(3; 4).$

D. $(4; 3).$

Для нахождения координат точки P пересечения диагоналей четырехугольника необходимо составить и решить систему уравнений прямых, на которых лежат эти диагонали. Вершины четырехугольника заданы точками O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2), C(2; 6). Диагонали соединяют противолежащие вершины. В общем случае для четырехугольника OABC диагоналями могут быть пары отрезков (OA, BC), (OB, AC) или (OC, AB). Необходимо выбрать ту пару, которая соответствует пересекающимся диагоналям. Проверив угловые коэффициенты, можно установить, что отрезки OA и BC пересекаются, в то время как другие пары параллельны. Следовательно, искомая точка является пересечением диагоналей OA и BC.

1. Уравнение прямой, содержащей диагональ OA.Прямая проходит через точки O(0; 0) и A(10; 8). Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$. Угловой коэффициент k равен:$k_{OA} = \frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \frac{8 - 0}{10 - 0} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.Таким образом, уравнение прямой OA: $y = \frac{4}{5}x$.

2. Уравнение прямой, содержащей диагональ BC.Прямая проходит через точки B(8; 2) и C(2; 6). Сначала найдем ее угловой коэффициент:$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{6 - 2}{2 - 8} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$.Теперь используем уравнение прямой, проходящей через точку, с известным угловым коэффициентом $y - y_1 = k(x - x_1)$. Возьмем точку B(8; 2):$y - 2 = -\frac{2}{3}(x - 8)$$y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3} + 2$$y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3} + \frac{6}{3}$Уравнение прямой BC: $y = -\frac{2}{3}x + \frac{22}{3}$.

3. Координаты точки пересечения P.Для нахождения точки пересечения решим систему из двух полученных уравнений:$\begin{cases} y = \frac{4}{5}x \\ y = -\frac{2}{3}x + \frac{22}{3} \end{cases}$Приравняем правые части уравнений, чтобы найти координату x:$\frac{4}{5}x = -\frac{2}{3}x + \frac{22}{3}$Перенесем слагаемые с x в левую часть:$\frac{4}{5}x + \frac{2}{3}x = \frac{22}{3}$Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 15:$\frac{12}{15}x + \frac{10}{15}x = \frac{22}{3}$$\frac{22}{15}x = \frac{22}{3}$Теперь найдем x:$x = \frac{22}{3} \cdot \frac{15}{22} = \frac{15}{3} = 5$.Для нахождения координаты y подставим значение $x=5$ в первое, более простое уравнение:$y = \frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \cdot 5 = 4$.Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей P равны (5; 4), что соответствует варианту A.

Ответ: (5; 4).

9. Найдите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых $x = -y$:

А. Прямые, параллельные оси абсцисс.

В. Биссектрисы первого и третьего координатных углов.

С. Биссектрисы второго и четвертого координатных углов.

D. Прямые, перпендикулярные оси абсцисс.

Нам необходимо определить, какое геометрическое место точек на координатной плоскости описывается уравнением $x = -y$. Для удобства анализа преобразуем это уравнение к стандартному виду уравнения прямой: $y = -x$.

Это уравнение представляет собой прямую, которая проходит через начало координат (точка $(0,0)$ удовлетворяет уравнению) и имеет угловой коэффициент, равный $-1$.

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

A. Прямые, параллельные оси абсцисс.
Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (оси $Ox$), имеет вид $y = c$, где $c$ — некоторая константа. Уравнение $y = -x$ не является уравнением такого вида, поскольку значение $y$ изменяется в зависимости от $x$. Таким образом, этот вариант неверен.

B. Биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон. Для координатных углов стороны — это оси координат. Расстояние от точки $(x,y)$ до оси $Ox$ равно $|y|$, а до оси $Oy$ — $|x|$. Условие равноудаленности записывается как $|y| = |x|$. В первом ($x>0, y>0$) и третьем ($x<0, y<0$) координатных углах координаты имеют одинаковые знаки, поэтому уравнение биссектрисы для этих углов — $y = x$. Это не соответствует исходному уравнению. Таким образом, этот вариант неверен.

C. Биссектрисы второго и четвертого координатных углов.
Во втором ($x<0, y>0$) и четвертом ($x>0, y<0$) координатных углах координаты имеют противоположные знаки. Условие равноудаленности от осей $|y| = |x|$ в этом случае раскрывается как $y = -x$ (для второго квадранта) или $-y = x$ (для четвертого квадранта), что в обоих случаях эквивалентно уравнению $y = -x$. Это в точности совпадает с уравнением, данным в условии задачи. Таким образом, этот вариант верен.

D. Прямые, перпендикулярные оси абсцисс.
Уравнение прямой, перпендикулярной оси абсцисс (то есть параллельной оси $Oy$), имеет вид $x = c$, где $c$ — некоторая константа. Уравнение $y = -x$ не является уравнением такого вида. Таким образом, этот вариант неверен.

Ответ: C. Биссектрисы второго и четвертого координатных углов.

10. Найдите расстояние между точками $M(0; -8)$ и $N(-1; 0)$:

A. $-3$.

B. $3$.

C. $\sqrt{17}$.

D. $\sqrt{65}$.

Для того чтобы найти расстояние между двумя точками на плоскости, используется формула расстояния, которая является следствием теоремы Пифагора. Формула для нахождения расстояния $d$ между точками с координатами $M(x_1; y_1)$ и $N(x_2; y_2)$ выглядит следующим образом:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

В нашем случае даны точки $M(0; -8)$ и $N(-1; 0)$. Определим их координаты:

$x_1 = 0$, $y_1 = -8$

$x_2 = -1$, $y_2 = 0$

Теперь подставим эти значения в формулу расстояния:

$d = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - (-8))^2}$

Выполним вычисления внутри скобок:

$d = \sqrt{(-1)^2 + (8)^2}$

Возведем числа в квадрат:

$d = \sqrt{1 + 64}$

Сложим полученные значения:

$d = \sqrt{65}$

Таким образом, расстояние между точками M и N равно $\sqrt{65}$. Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту D.

Ответ: $\sqrt{65}$